bisektris och den vinkelrät linje till ett segment som skär dess mittpunkt. Vi kan konstruera den vinkelräta halveringslinjen för ett segment med hjälp av linjal och kompass. På en triangel, bisektrarna är linjer vinkelräta mot sidorna som innehåller deras mittpunkter. Således har en triangel tre vinkelräta bisektrar. Punkten där dessa bisektrar möts kallas omkretscentrum och utgör mitten av cirkeln omskriven till triangeln.
Läs också: Avstånd mellan två punkter — den kortaste vägen mellan två punkter i det kartesiska planet
Sammanfattning om vinkelrät bisektris
Bisector är den hetero vinkelrätt mot ett segment som går genom mittpunkten.
Punkterna i en vinkelrät bisektrik är lika långt från segmentets ändpunkter.
Den vinkelräta bisektrisen kan konstrueras med linjal och kompass.
Ekvationen för en vinkelrät bisektrik kan bestämmas baserat på koordinaterna för segmentets ändpunkter.
En triangel har tre vinkelräta bisektrar, en med avseende på varje sida.
Skärningspunkten för halvledarna i en triangel kallas circumcenter. Denna punkt är mitten av triangelns omskrivna cirkel.
En triangels bisektrik skiljer sig från medianen, halveringslinjen och höjden av en triangel.
Vad är mediatrix?
Givet ett segment är den vinkelräta halveringslinjen linjen vinkelrät mot segmentet som fångar upp din mittpunkt.
En viktig konsekvens av denna definition är att alla punkter på en vinkelrät bisektrik är på samma avstånd från segmentets ändpunkter. I matematisk symbolik, om AB är ett segment och punkten P tillhör bisektrisen, så är PA = PB.
Hur bygger man bisektorn?
För att konstruera den vinkelräta bisektrisen av ett segment, vi behöver bara linjal och kompass. Stegen för konstruktion är följande:
Steg 1: Med ett segment AB, öppna kompassen med en längd som är större än halva segmentet. Tips: en möjlighet är att använda längden på själva segmentet.
Steg 2: rita en omkrets med centrum i ena änden av segmentet och radie med måttet som valdes i steg 1.
Steg 3: Upprepa steg 2 för den andra änden av segmentet.
Steg 4: Förena cirklarnas skärningspunkter med linjalen.
Hur hittar man bisektekvationen?
Eftersom den vinkelräta bisektaren är en rät linje kan vi bestämma a ekvation som beskriver dina poänger, vara r raden som innehåller ett segment AB bortskänkt, s bisektrisen för detta segment och P (x, y) någon punkt på den vinkelräta bisektrisen.
Förutsatt att punkternas koordinater A Det är B är kända kan vi erhålla vinkelkoefficienten n av raken r. Som r Det är s är vinkelräta, lutningen m av raken s (den vinkelräta halveringslinjen) kan också hittas, eftersom det är motsatsen till multiplikativ invers av n. Med hjälp av uttrycket för linjens grundläggande ekvation, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), på vad \(M(x\_0,y\_0)\) är mittpunkten av AB, vi har slutfört bisektekvationen.
Exempel:
Bestäm bisektekvationen för segmentet som bestäms av punkterna A(1,2) och B(3,6).
Upplösning:
Låt oss först ta lutningen n av raken r som innehåller segmentet AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Nu letar vi efter segmentets mittpunkt M AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Kom ihåg att den vinkelräta bisektrisen s önskad är vinkelrät mot linjen r (som innehåller segmentet AB). Sedan, vinkelkoefficienten m av raken s och vinkelkoefficienten n av raken r är relaterade enligt följande:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Därför, \( m_s=\frac{-1}2\).
Slutligen använder vi linjens fundamentala ekvation för att bestämma halveringslinjen s, en linje som har lutning lika med \(-\frac{1}2\) och passerar genom punkten (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
bisektris i en triangel
De tre sidorna av en triangel är linjesegment. Sålunda hänvisar termen "bisektrik av en triangel" till halvledardelen av en av sidorna av denna geometriska figur. Därför, triangelnhar tre bisektorer. Se nedan:
Punkten där halvledarna i en triangel möts kallas circumcenter., eftersom det är mitten av cirkeln omskriven till triangeln (det vill säga cirkeln som passerar genom triangelns tre hörn).
Viktig:Eftersom omkretscentrum är en punkt som är gemensam för de tre vinkelräta halvledarna, är dess avstånd från vart och ett av hörnen detsamma. I matematisk symbolik, om D är triangelns omkretscentrum ABC, då \(AD=BD=CD\).
Skillnader mellan bisektris, median, bisektrik och höjd av en triangel
Halvled, median, halvled och höjd av en triangel är olika begrepp. Låt oss titta på var och en för sig och sedan tillsammans.
Halvled i en triangel: är linjen vinkelrät mot en av sidorna som skär dess mittpunkt.
Median för en triangel: är segmentet med ändpunkter i en vertex av triangeln och i mitten av sidan mitt emot vertex.
Halvled i en triangel: är segmentet som delar sig i hälften av ett vinklar sidor av triangeln, med ändpunkter vid en av hörnen och på motsatt sida.
Höjd på en triangel: är segmentet vinkelrätt mot en av sidorna med änden i vinkeln motsatt sidan.
I följande bild markerar vi, i förhållande till segmentet BC i triangeln, höjden (streckad streck i orange), bisektrisen (streckad linje i lila), medianen (prickad linje i grönt) och den vinkelräta halveringslinjen (heldragen linje i röd).
Viktig: På en liksidig triangel, det vill säga som har de tre sidorna och de tre vinklarna lika, halvledarna, medianerna, halvledarna och höjderna sammanfaller. Följaktligen anmärkningsvärda punkter i en triangel (cirkumcenter, barycenter, incenter och ortocenter) sammanfaller också. I bilden nedan markerar vi, i förhållande till segment BC, bisektris, median, bisektrik och höjd i en kontinuerlig svart linje. Den markerade punkten E är därför circumcenter, barycenter, incenter och ortocenter av triangeln ABC.
Se också: Metriska relationer i den inskrivna liksidiga triangeln - vad är de?
Lösta övningar på bisekt
fråga 1
Betrakta påståendena nedan.
i. En triangels bisektrik är det segment som börjar vid en vertex och korsar mittpunkten på den motsatta sidan.
II. Punkten där halvledarna i en triangel möts kallas circumcenter. Denna punkt är mitten av cirkeln omskriven till triangeln och på samma avstånd från hörnen.
III. Bisektrisen av ett segment är den vinkelräta linjen som skär segmentet vid mittpunkten.
Vilket alternativ innehåller rätt(a)?
A) Jag, bara.
B) II, endast.
C) Endast III.
D) I och II.
E) II och III.
Upplösning:
Alternativ E
Påstående I är det enda felaktiga, eftersom det beskriver medianen för en triangel.
fråga 2
(Enem — anpassad) De senaste åren har tv genomgått en verklig revolution när det gäller bildkvalitet, ljud och interaktivitet med tittaren. Denna transformation beror på omvandlingen av den analoga signalen till den digitala signalen. Men många städer har fortfarande inte denna nya teknik. För att få dessa fördelar till tre städer, avser en tv-station att bygga ett nytt sändningstorn som skickar en signal till antennerna A, B och C, som redan finns i dessa städer. Antennplatserna är representerade i det kartesiska planet:
Tornet måste placeras på samma avstånd från de tre antennerna. Den lämpliga platsen för konstruktionen av detta torn motsvarar koordinatpunkten
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Upplösning:
Alternativ E
Observera att platsen för tornet måste vara omkretsen av triangeln som bildas av punkterna A, B och C, eftersom det är platsen för de tre antennerna på samma avstånd.
Koordinaterna för T-tornet är\((x_t, y_t)\). Eftersom T tillhör bisektrisen av AB (given av linjen x = 50), måste tornets horisontella placering vara \(x_t=50\).
För att bestämma den horisontella koordinaten \(y_t\) av tornet kan vi använda uttrycket för avståndet mellan två punkter två gånger. Eftersom tornet är på samma avstånd, till exempel från hörnen A och C (AT = CT), har vi:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Förenklat får vi \(y_t=30\).
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
