Övningar på PA och PG

Studera aritmetisk och geometrisk progression med lösta och kommenterade övningar steg för steg.

Övning 1

I en AP är a2 = 5 och a7 = 15. Hitta a4 och lägg till de första fem termerna i denna AP.

se svaret

Rätt svar: a4 = 9 och S = 35.

Upplösning

Steg 1: bestäm orsaken och a4.
För att lämna a2 och komma fram till a7 lägger vi till 5r, eftersom det är "avståndet" mellan 7 och 2.

a med 7 nedsänkt är lika med a med 2 nedsänkt plus 5 r 15 mellanslag är lika med mellanslag 5 mellanslag plus mellanslag 5 r 15 mellanslag minus mellanslag 5 mellanslag är lika med 5 r 10 mellanslag är lika med mellanrum 5 r 10 över 5 är lika med r 2 är lika med r

Termen a4 är termen a2 plus 2r, eftersom vi för att komma från a2 till a4 "avancerar" 2r. Snart,

a med 4 nedsänkta är lika med a med 2 nedsänkta plus 2 r a med 4 nedsänkta är lika med 5 mellanslag plus mellanslag 2.2 a med 4 nedsänkta är lika med 5 mellanslag plus mellanslag 4 mellanslag är lika med mellanslag 9

Därför är den fjärde terminen av AP 9.

Steg 2: bestäm summan av de första fem termerna i denna AP.

Summan av villkoren för en AP ges av:

S är lika med täljaren vänster parentes a med 1 nedsänkt parentes plus a med n nedsänkt höger parentes. n över nämnare 2 slutet av bråket

a1 = a2 - r (eftersom vi går tillbaka en position i PA, med start från a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (eftersom vi går tillbaka två positioner i PA, med start från a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S är lika med täljaren vänster parentes 3 mellanslag plus mellanslag 11 höger parentes.5 över nämnare 2 slutet av bråket är lika med täljaren 14 mellanslag. mellanslag 5 över nämnare 2 slutet av bråket är lika med 70 över 2 är lika med 35

Övning 2

(Aeronautics 2021) En professor skrev en 8-terminers ökande aritmetisk progression som börjar med siffran 3 och består av endast naturliga tal. Han märkte då att den andra, fjärde och åttonde termen i denna aritmetiska progression bildade, i den ordningen, en geometrisk progression. Professorn observerade också att summan av termerna för denna geometriska progression var lika med

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

se svaret

Svar: a) 42

Av AP är termerna som bildar en PG a2, a4 och a8:

a med 2 nedsänkt är lika med a med 1 nedsänkt plus vänster parentes n minus 1 höger parentes r a med 2 nedsänkt är lika med 3 plus vänster parentes 2 minus 1 höger parentes r a med 2 nedsänkt är lika med 3 plus r utrymme

a med 4 nedsänkt är lika med a med 1 nedsänkt plus vänster parentes 4 minus 1 höger parentes r a med 4 nedsänkt är lika med 3 mellanslag plus mellanslag 3 r

a med 8 nedsänkta är lika med 3 plus vänster parentes 8 minus 1 höger parentes r a med 8 nedsänkta är lika med 3 plus 7 r

Summan av de tre termerna är:

S är lika med a med 2 nedsänkt plus a med 4 nedsänkt plus a med 8 nedsänkt S är lika med vänster parentes 3 plus r höger parentes mellanslag plus mellanslag vänster parentes 3 plus 3 r parentes höger mellanslag plus mellanslag vänster parentes 3 plus 7 r höger parentes S är lika med 9 mellanslag plus mellanslag 11 r mellanslag mellanslag mellanslag vänster parentes och frågeutrymme I parentes höger

För att bestämma r använder vi det geometriska medelvärdet:

a med 4 nedsänkt är lika med kvadratroten av a med 2 nedsänkt. a med 8 nedsänkt slutet av rot 3 plus 3 r är lika med kvadratroten av vänster parentes 3 plus r höger parentes. vänster parentes 3 plus 7 r höger parentes rotände

Fyrkantig på båda sidor

vänster parentes 3 plus 3 r höger parentes i kvadrat är lika med vänster parentes 3 plus r höger parentes. vänster parentes 3 plus 7 r höger parentes

Kvadrera den första termen och fördela den andra termen:

Genom att ersätta r i ekvation I har vi:

S mellanslag är lika med mellanslag 9 mellanslag plus mellanslag 11 r S mellanrum är lika med mellanrum 9 mellanrum plus mellanrum 11.3 S mellanrum är lika med mellanrum 9 mellanrum plus mellanrum 33 S mellanrum är lika med mellanrum 42

Därför är summan av de tre första termerna lika med 42.

Övning 3

(PM-SP 2019) 2015 startade ett stort oljebolag processen att återanvända vattnet som används för att kyla de delar som producerade och gjorde en framskrivning av en gradvis ökning, i aritmetisk progression, fram till år 2050, av volymen vatten som kommer att återanvändas, år för år år.

Tabellen visar volymerna vatten som återanvänts under de första 3 åren:

Tabell förknippad med lösningen av frågan.

Låt An vara den allmänna termen för den aritmetiska utvecklingen som anger volymen återanvänt vatten, i miljoner m³, med n = 1, representerar volymen vatten som återanvänds år 2016, n = 2, representerar volymen vatten som återanvänds år 2017, och så vidare successivt.

Under dessa förhållanden måste man

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

se svaret

Rätt svar: c) An = 0,5n + 23.

mål
Bestäm An som en funktion av n.

Upplösning
Förhållandet mellan den aritmetiska progressionen är 0,5, eftersom 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Den allmänna termen för en AP ges av:

A med n nedsänkt är lika med mellanslag a med 1 nedsänkt mellanslag plus mellanslag vänster parentes n minus 1 höger parentes r

Ersätter värdena:

A med n nedsänkt är lika med 23 komma 5 mellanslag plus mellanslag 0 komma 5 n mellanslag minus mellanslag 0 komma 5 A med n nedsänkt är lika med 0 komma 5 n plus 23 mellanslag

Övning 4

(CEDERJ 2021) Sekvensen (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) är en aritmetisk progression av förhållande 6. Den fjärde terminen av denna utveckling är

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

se svaret

Rätt svar: a) 31

Upplösning
r mellanslag är lika med mellanslag a med 2 nedsänkt minus a med 1 nedsänkt 6 mellanslag är lika med mellanslag 3 x plus 4 mellanslag minus parentes vänster 2x plus 3 parentes höger 6 är lika med 3x plus 4 minus 2x minus 3 6 är lika med x plus 1x är lika med 6 minus 1x lika med 5

Den fjärde termen är a3 + r, så här:

a med 4 nedsänkt är lika med a med 3 nedsänkt plus r a med 4 nedsänkt är lika med 4 x mellanslag plus mellanslag 5 mellanslag plus mellanslag r

Ersätter de hittade värdena:

a med 4 nedsänkt är lika med 4,5 mellanslag plus mellanslag 5 mellanslag plus mellanslag 6 a med 4 nedsänkt är lika med 20 plus mellanslag 5 mellanslag plus mellanslag 6 a med 4 nedsänkt är lika med 31

Övning 5

(Enem 2021) I Brasilien, den tid som krävs för en student att slutföra sin utbildning fram till examen i en högre kurs, med tanke på 9 år på grundskolan, 3 år på gymnasiet och 4 år på examen (genomsnittstid) är det 16 år gammal. Men brasilianernas verklighet visar att den genomsnittliga studietiden för personer över 14 år fortfarande är mycket liten, vilket visas i tabellen.
Tabell förknippad med lösningen av frågan.

Tänk på att ökningen av studietid, vid varje period, för dessa personer förblir konstant fram till året 2050, och att det är tänkt att nå nivån 70 % av tiden som krävs för att få den högre kursen som ges tidigare.
Året då den genomsnittliga studietiden för personer över 14 år når den önskade andelen blir

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

se svaret

Rätt svar: d) 2035.

Första delen: bestäm 70 % av 16.

70 procent tecken mellanslag 16 mellanslag är lika med mellanslag 70 över 100 multiplikationstecken 16 är lika med 1120 över 100 är lika med 11 poäng 2

Del 2: bestäm efter hur många perioder 11,2 års studier uppnås.

Studietidssekvensen är en aritmetisk progression (AP) med ett förhållande på 0,6.

r = a2 - al = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Beloppet 11,2 år kommer att uppnås i:

A med n nedsänkt är lika med a med 1 nedsänkt plus mellanslag vänster parentes n minus 1 höger parentes r 11 komma 2 är lika med 5 komma 2 plus vänster parentes n minus 1 höger parentes 0 komma 6 11 komma 2 är lika med 5 komma 2 plus 0 komma 6 n minus 0 komma 6 11 komma 2 minus 5 komma 2 plus 0 komma 6 är lika med 0 komma 6 n 6 plus 0 komma 6 är lika med 0 komma 6 n 6 komma 6 är lika med 0 komma 6 n täljare 6 komma 6 över nämnaren 0 komma 6 bråkslutet är lika med n 11 lika med n

Beloppet 11,2 kommer att uppnås under den 11:e terminen av PA.

3:e delen: bestäm vilken som är den 11:e terminen i PA för åren.

Kvoten är a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 år

A med 11 nedsänkta är lika med a med 1 nedsänkta plus vänster parentes n minus 1 höger parentes r A med 11 nedsänkta är lika med 1995 plus vänster parentes 11 minus 1 höger parentes 4 A med 11 nedsänkta är lika med 1995 plus 10,4 A med 11 nedsänkta är lika med 1995 mellanslag plus mellanslag 40 A med 11 nedsänkta är lika med 2035

Slutsats
70 % av de 16 år som krävs för att slutföra en grundexamen kommer att uppnås 2035.

Övning 6

(Brandkåren 2021) Ett flygplan och en brandbil har vattenreservoarer med kapaciteter på 12 000 respektive 8 000 liter vatten. Lastbilen har en 2,5 GPM pump, vilket betyder att den kan pumpa 2,5 liter per minut.

Utifrån denna hypotetiska situation, bedöm följande punkt, med tanke på att 1 gallon är lika med 3,8 liter vatten.

Om en vattentank har en kapacitet på X tusen liter, så att 8, X och 12 är i geometrisk progression, i den ordningen, är kapaciteten för den tanken mindre än 10 tusen liter.

Höger

Fel

se svaret

Rätt svar: rätt

mål
Kontrollera om X < 10.

Upplösning
I en geometrisk progression, PG, är mellantermen det geometriska medelvärdet mellan ytterligheterna.

X mindre än kvadratroten ur 8,12 änden av roten X utrymme mindre än kvadratroten ur 96

Faktum är att den ungefärliga kvadratroten av 96 är 9,79. Vi drar slutsatsen att tankens kapacitet X är mindre än 10 tusen liter.

Övning 7

(Aeronautics 2021) Bli P.G. (24, 36, 54, ...). Genom att lägga till 5:e och 6:e villkoren i denna G.P. det har varit

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

se svaret

Rätt svar: c) 1215/4

mål
Lägg till a5 + a6

Upplösning

Steg 1: Bestäm förhållandet q.

Anledningen till PG är:

q är lika med a med 2 nedsänkt över a med 1 nedsänkt är lika med 36 över 24 är lika med 3 över 2

Steg 2: Bestäm a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Ersätter a4 med a5:

a med 5 nedsänkta mellanslag är lika med mellanslag a med 3 nedsänkta mellanslag. mellanslag q mellanslag. mellanslag q mellanslag är lika med mellanslag a med 3 nedsänkt mellanslag. mellanrum q i kvadrat

Steg 3: Bestäm a6

a6 = a5. q

Ersätter a5 med a6:

a med 6 nedsänkta är lika med a med 5 nedsänkta mellanslag. mellanslag q mellanslag är lika med mellanslag a med 3 nedsänkt mellanslag. utrymme q kvadratiskt utrymme. mellanslag q mellanslag är lika med mellanslag a med 3 nedsänkt mellanslag. utrymme q i kub

Steg 4: Lägg till a5 + a6 som ersätter de numeriska värdena.

a med 5 subscript plus a med 6 subscript är lika med a med 3 subscript. q kvadratiskt mellanslag plus mellanslag a med 3 underskrift. q kuberad a med 5 nedsänkta plus a med 6 nedsänkta är lika med 54 mellanslag. mellanslag öppnar parentes 3 över 2 stänger parentes i kvadrat plus mellanslag 54 mellanslag. mellanslag öppnar parentes 3 över 2 stänger parenteser i kub a med 5 nedsänkta plus a med 6 nedsänkta är lika med 54 mellanslag. utrymme 9 över 4 utrymme plus utrymme 54 utrymme. utrymme 27 över 8

Att sätta 54 i bevis:

a med 5 nedsänkta plus en med 6 nedsänkta är lika med 54 mellanslag öppnar parentes 9 över 4 mellanslag plus mellanslag 27 över 8 stängs parentes a med 5 nedsänkt plus a med 6 nedsänkt är lika med 54 öppnar parentes täljare 9 Plats. mellanslag 8 över nämnare 4 mellanslag. mellanslag 8 slutet av bråk plus mellanslag täljare 27 mellanslag. mellanslag 4 över nämnare 4 mellanslag. blanksteg 8 slutet av bråk stänger parentes a med 5 nedsänkt plus a med 6 nedsänkt är lika med 54 öppnar parentes 72 över 32 plus 108 över 32 stänger parentes a med 5 nedsänkta plus a med 6 nedsänkta är lika med 54 öppnar parentes 180 över 32 stänger parentes a med 5 nedsänkta plus a med 6 nedsänkta är lika med 54 Plats. mellanslag 180 över 32 är lika med 9720 över 32 är lika med 1215 över 4

Övning 8

(UERJ 2019) Trianglarna A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, illustrerade nedan, har omkretsarna p1, p2, p3 respektive. Hörnen av dessa trianglar, med början från den andra, är mittpunkterna på sidorna i den föregående triangeln.

Bild associerad med lösningen av problemet.

erkänn det stack A med 1 nedsänkt B med 1 nedsänkt med snedstreck ovanför stack B med 1 nedsänkt C med 1 nedsänkt med snedstreck ovan är lika med 7 blanksteg och blanksteg A med 1 nedsänkt C med 1 nedsänkt med snedstreck ovan är lika med 4 .

Således definierar (p1, p2, p3) följande progression:

a) förhållande aritmetik = – 8
b) förhållande aritmetik = – 6
c) geometriskt förhållande = 1/2
d) geometriskt förhållande = 1/4

se svaret

Rätt svar: c) geometriskt förhållande = 1/2

Upplösning

Steg 1: definiera omkretsarna p1, p2 och p3.

p med 1 nedsänkt är lika med mellanslagsstack A med 1 nedsänkt B med 1 nedsänkt med snedstreck ovan plus mellanslagsstack B med 1 nedsänkt C med 1 nedsänkt med snedstreck ovan plus stack A med 1 nedsänkt C med 1 nedsänkt med snedstreck ovanför p med 1 nedsänkt är lika med 7 mellanslag plus mellanslag 7 mellanslag plus mellanslag 4 p med 1 nedsänkt är lika med 18

Genom parallellitet verifierar vi att sidorna av den inre triangeln är hälften av den omedelbart yttre.

Till exempel, B2A2 = A1C2

Således är p2 hälften av p1, precis som p3 är hälften av p2. Vi har:

p med 2 nedsänkt är lika med p med 1 nedsänkt delat med 2 är lika med 9 och p med 3 nedsänkt är lika med p med 2 nedsänkt delat med 2 är lika med 9 mellanslag dividerat med 2 är lika med 4 komma 5

Steg 2: Sätt ihop progressionen och klassificera den.

p med 1 nedsänkt kommatecken p med 2 nedsänkt kommatecken p med 3 nedsänkt mellanslag är lika med mellanslag 18 kommatecken 9 kommatecken 4 komma 5

Det visar sig att för att bestämma p2, multipliceras 18 med 1/2.

18 blanksteg multiplikationstecken blanksteg 1 hälften är lika med 9

Dessutom är 9 multiplicerat med 1/2 4,5.

9 blanksteg multiplikationstecken blanksteg 1 halv är lika med 9 över 2 är lika med 4 komma 5

Slutsats
Vi verifierar att progressionen är geometrisk, med ett förhållande på 1/2.

Övning 9

(Enem 2021) Grafen visar den produktion som registrerats av en industri under månaderna januari, mars och april.

På grund av logistiska problem genomfördes inte produktionsundersökningen för februari månad. Information för de övriga tre månaderna tyder dock på att produktionen under denna fyramånadersperiod ökade exponentiellt, vilket framgår av trendkurvan som spåras i grafen.

Om man antar att tillväxten under denna period var exponentiell, kan man dra slutsatsen att produktionen av denna industri i februari månad, i tusentals enheter, var

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

se svaret

Rätt svar: c) 240.

Upplösning

Den allmänna termen för en PG är ett exponentiellt a som funktion av n, där a1 och q är konstanta tal.