Faktoriseringen av polynom består av metoder utvecklade för att skriva om ett polynom som en produkt mellan polynom. Skriv polynomet som multiplikation mellan två eller flera faktorer hjälper till att förenkla algebraiska uttryck och förstå ett polynom.
Det finns olika fall av factoring, och för var och en av dem finns det specifika tekniker.. De befintliga fallen är: faktorisering med gemensam faktor i bevis, faktorisering genom gruppering, skillnad mellan två kvadrater, perfekt kvadrattrinomial, summan av två kuber och skillnaden mellan två kuber.
Läs mer:Vad är polynom?
Sammanfattning om faktorisering av polynom
Faktorisering av polynom är tekniker som används för att representera polynomet som en produkt mellan polynom.
Vi använder denna faktorisering för att förenkla algebraiska uttryck.
-
Factoringfallen är:
Factoring av gemensam bevisfaktor;
Faktorering genom gruppering;
perfekt kvadratisk trinomium;
skillnaden mellan två rutor;
summan av två kuber;
Skillnaden mellan två kuber.
Polynomfaktoreringsfall
För att faktorisera ett polynom, det är nödvändigt att analysera i vilket av factoringfallen situationen passar, som är: faktorisering med gemensam faktor i bevis, faktorisering genom gruppering, skillnad mellan två kvadrater, perfekt kvadrattrinomial, summan av två kuber och skillnaden mellan två kuber. Låt oss se hur man utför faktoriseringen i var och en av dem.
Sluta inte nu... Det kommer mer efter annonsen ;)
Gemensam faktor i bevis
Vi använder denna faktoriseringsmetod när det finns en faktor som är gemensam för alla termer i polynomet. Denna gemensamma faktor kommer att lyftas fram som en faktor, och den andra faktorn, resultatet av division av termerna av den gemensamma faktorn, kommer att placeras inom parentes.
Exempel 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Genom att analysera varje term i detta polynom är det möjligt att se att x upprepas i alla termer. Dessutom är alla koefficienter (20, 12 och 8) multiplar av 4, så den faktor som är gemensam för alla termer är 4x.
Om vi dividerar varje term med den gemensamma faktorn har vi:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nu kommer vi att skriva faktoriseringen och sätta den gemensamma faktorn i bevis och belopp av resultaten inom parentes:
4x (5y + 3x + 2y²)
Exempel 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Genom att analysera den bokstavliga delen av varje term är det möjligt att se att a²b upprepas i dem alla. Observera att det inte finns något tal som delar 2, 3 och – 4 samtidigt. Så den gemensamma faktorn blir bara a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4:a5b³: a²b = 4a³
Således kommer faktoriseringen av detta polynom att vara:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Se också: Addition, subtraktion och multiplikation av polynom - förstå hur de görs
gruppering
Denna metod är används när det inte finns någon gemensam faktor för alla termer i polynomet. I det här fallet identifierar vi termer som kan grupperas med en gemensam faktor och lyfter fram dem.
Exempel:
Faktorisera följande polynom:
ax + 4b + bx + 4a
Vi kommer att gruppera termerna som har a och b som en gemensam faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Om vi sätter a och b som bevis i termer av två och två, har vi:
a(x+4)+b(x+4)
Observera att inom parentesen är faktorerna desamma, så vi kan skriva om detta polynom som:
(a + b) (x + 4)
perfekt kvadratisk trinomium
Trinomial är polynom med 3 termer. Ett polynom är känt som ett perfekt kvadratiskt trinomium när det är det summakvadrat eller differenskvadratresultat, det är:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Viktig: Inte varje gång det finns tre termer kommer detta polynom att vara ett perfekt kvadrattrinomium. Innan faktoriseringen utförs måste det därför verifieras om trinomialet passar i detta fall.
Exempel:
Faktorera, om möjligt, polynomet
x² + 10x + 25
Efter att ha analyserat denna trinomial kommer vi att extrahera roten ur första och sista terminen:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Det är viktigt att verifiera att den centrala termen, det vill säga 10x, är lika med \(2\cdot\ x\cdot5\). Observera att det verkligen är samma sak. Så det här är ett perfekt kvadratiskt trinomium, som kan faktoriseras av:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
skillnaden mellan två rutor
När vi har en skillnad på två kvadrater, vi kan faktorisera detta polynom genom att skriva om det som produkten av summan och skillnaden.
Exempel:
Faktorera polynomet:
4x² – 36y²
Först kommer vi att beräkna kvadratroten av var och en av dess termer:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Nu kommer vi att skriva om detta polynom som produkten av summan och skillnaden av de hittade rötter:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Läs också: Algebraisk beräkning som involverar monomialer - lär dig hur de fyra operationerna sker
summan av två kuber
Summan av två kuber, det vill säga a³ + b³, kan räknas som:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Exempel:
Faktorera polynomet:
x³ + 8
Vi vet att 8 = 2³, så:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Skillnaden mellan två kuber
Skillnaden mellan två kuber, det vill säga a³ – b³, inte olikt summan av två kuber, kan faktoriseras som:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Exempel:
Faktorera ut polynomet
8x³ - 27
Vi vet det:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Så vi måste:
\(8x^3-27=\vänster (2x-3\höger)\)
\(8x^3-27=\vänster (2x-3\höger)\vänster (4x^2+6x+9\höger)\)
Lösta övningar om faktorisering av polynom
fråga 1
Använda polynomfaktorisering för att förenkla algebraiskt uttryck \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), vi kommer hitta:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Upplösning:
Alternativ D
När vi tittar på täljaren ser vi att x² + 4x + 4 är ett fall av ett perfekt kvadratiskt trinomium och kan skrivas om som:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Täljaren x² – 4 är skillnaden mellan två rutor och kan skrivas om som:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Därför:
\(\frac{\vänster (x+2\höger)^2}{\vänster (x+2\höger)\vänster (x-2\höger)}\)
Observera att termen x + 2 förekommer både i täljaren och i nämnaren, så dess förenkling ges av:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
fråga 2
(Unifil Institute) Med tanke på att två tal, x och y, är sådana att x + y = 9 och x² – y² = 27, är värdet på x lika med:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Upplösning:
Alternativ C
Observera att x² – y² är skillnaden mellan två kvadrater och kan faktoriseras som produkten av summan och skillnaden:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Vi vet att x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Då kan vi sätta upp en ekvationssystem:
Lägger till de två raderna:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
