Trigonometriska förhållanden: sinus, cosinus och tangens är relationer mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Med hjälp av dessa förhållanden är det möjligt att bestämma okända värden på vinklar och sidomått.
Öva dina kunskaper med de lösta problemen.
frågor om sinus
fråga 1
vara vinkeln lika med 30° och hypotenusan 47 m, beräkna höjdmåttet De av triangeln.
Det trigonometriska sinusförhållandet är kvoten mellan måtten på den motsatta sidan av vinkeln och hypotenusan.
Isolerande De å ena sidan av jämställdhet har vi:
Från en trigonometrisk tabell har vi att sinus på 30° är lika med , ersätter i ekvationen:
Därför är triangelns höjd 23,50 m.
fråga 2
Ovanifrån av en park visar två vägar för att komma till punkt C från punkt A. Ett av alternativen är att gå till B, där det finns dryckesfontäner och rastplatser, och sedan till C. Om en besökare i parken vill gå direkt till C, hur många meter kommer han att ha gått mindre än det första alternativet?
Tänk på uppskattningar:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
brun 58° = 1,60
Svar: lämnar A och går direkt till C, promenaden är 7,54 m kortare.
Steg 1: beräkna avstånd.
Steg 2: bestäm avståndet.
Steg 3: bestäm avståndet .
Steg 4: Bestäm skillnaden mellan de två vägarna.
fråga 3
En linbana installerades som kopplade en bas till toppen av ett berg. För installationen användes 1358 m kablar, anordnade i en vinkel på 30° i förhållande till marken. Hur högt är berget?
Rätt svar: höjden på berget är 679 m.
Vi kan använda det trigonometriska sinusförhållandet för att bestämma bergets höjd.
Från en trigonometrisk tabell har vi sin 30° = 0,5. Eftersom sinus är förhållandet mellan motsatt sida och hypotenusan, bestämmer vi höjden.
fråga 4
(CBM-SC, soldat-2010) För att hjälpa en person i en lägenhet under en brand, brandmän kommer att använda en 30m stege, som kommer att placeras som visas i figuren nedan och bildar en vinkel med marken av 60:e. Hur långt är lägenheten från golvet? (Använd sen60º=0,87; cos60º=0,5 och tg60º= 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Rätt svar: b) 26,1 m.
För att bestämma höjden använder vi 60° sinus. Kallar höjden h och använder 60° sinus lika med 0,87.
Frågor om cosinus
fråga 5
Cosinus är förhållandet mellan sidan som gränsar till en vinkel och mätningen av hypotenusan. Varelse lika med 45°, beräkna måttet på benet intill vinkeln alfa, i figurens triangel.
överväga
Uppskattning av kvadratroten av 2:
Måtten på det intilliggande benet är cirka 19,74 m.
fråga 6
Under en fotbollsmatch kastar spelare 1 till spelare 2 i 48° vinkel. Hur långt måste bollen resa för att nå spelare 2?
Överväga:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
brun 48° = 1,11
Rätt svar: Bollen måste färdas en sträcka på 54,54 m.
Måttet mellan spelare 1 och spelare 2 är hypotenusan för den räta triangeln.
Cosinus för 48°-vinkeln är förhållandet mellan dess intilliggande sida och hypotenusan, där den intilliggande sidan är avståndet mellan mittfältet och det stora området.
52,5 - 16,5 = 36 m
Beräknar cosinus, där h är hypotenusan.
fråga 7
Ett tak anses vara gavel när det finns två sluttningar. I ett verk byggs ett tak där mötet mellan dess två vatten är exakt mitt på plattan. Lutningsvinkeln för varje vatten i förhållande till plattan är 30°. Plattan är 24 m lång. För att beställa plattorna redan innan strukturen som ska stödja taket är klar, är det nödvändigt att veta längden på varje vatten, vilket kommer att vara:
Eftersom plattan är 24 m lång blir varje vatten 12 m.
Genom att kalla längden på varje takvatten L har vi:
Rationalisera bråket för att få det irrationella talet av nämnaren.
Tillverkning,
Därför blir längden på varje takvatten cirka 13,6 m.
fråga 8
Tangent är förhållandet mellan sidan som är motsatt en vinkel och dess intilliggande sida. vara vinkeln lika med 60°, beräkna höjden på triangeln.
Tangenta frågor
fråga 9
En person vill veta bredden på en flod innan han korsar den. För detta sätter den en referenspunkt på den andra kanten, som till exempel ett träd (punkt C). I den position du befinner dig i (punkt B), gå 10 meter till vänster, tills en vinkel på 30° bildas mellan punkt A och punkt C. Beräkna flodens bredd.
överväga .
För att beräkna bredden på floden som vi kommer att kalla L använder vi tangensen för vinkeln .
fråga 10
(Enem 2020) Pergolado är namnet på en typ av tak designad av arkitekter, vanligen i rutor och
trädgårdar, för att skapa en miljö för människor eller växter, där mängden ljus minskar,
beroende på solens läge. Den är gjord som en pall med lika balkar, placerad parallellt och perfekt
i rad, som visas i figuren.
En arkitekt designar en pergola med 30 cm spännvidd mellan dess bjälkar, så att, i
sommarsolståndet utförs solens bana under dagen i ett plan vinkelrätt mot riktningen för
strålar, och att eftermiddagssolen, när dess strålar gör 30° med stiftpositionen, genererar hälften
av ljuset som passerar i pergolan vid middagstid.
För att möta det projektförslag som utarbetats av arkitekten måste pergolabalkarna vara
konstruerad så att höjden, i centimeter, är så nära som möjligt
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Rätt svar: c) 26.
För att förstå situationen, låt oss göra en översikt.
Bilden till vänster visar förekomsten av solljus vid middagstid, med 100 %. Bilden till vänster är det som intresserar oss. Den tillåter endast 50 % av solens strålar att passera genom pergolan med en lutning på 30 %.
Vi använder det tangent trigonometriska förhållandet. Tangens för en vinkel är förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan.
Vi kallar höjden på pergolabiten h, vi har:
Göra en tangent på 30° =
Låt oss rationalisera det sista bråket så att vi inte lämnar roten av tre, ett irrationellt tal, i nämnaren.
Tillverkning,
Av de alternativ som finns för frågan är bokstaven c den närmaste, höjden på balkarna måste vara cirka 26 cm.
fråga 11
(Enem 2010) En atmosfärisk ballong, uppskjuten i Bauru (343 kilometer nordväst om São Paulo), på natten i söndags föll det i måndags i Cuiabá Paulista, i regionen Presidente Prudente, skrämmande
bönder i regionen. Artefakten är en del av Hibiscus Project-programmet, utvecklat av Brasilien, Frankrike,
Argentina, England och Italien, för att mäta beteendet hos ozonskiktet, och dess nedstigning ägde rum
efter överensstämmelse med förväntad mättid.
På dagen för evenemanget såg två personer ballongen. En var 1,8 km från ballongens vertikala position
och såg den i en vinkel av 60°; den andra var 5,5 km från ballongens vertikala position, i linje med
först, och i samma riktning, som ses i figuren, och såg den i en vinkel på 30°.
Vad är den ungefärliga höjden på ballongen?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Rätt svar: c) 3,1 km
Vi använder 60°-tangenten som är lika . Tangenten är det trigonometriska förhållandet mellan den motsatta sidan av vinkeln och dess intilliggande.
Därför var ballongens höjd cirka 3,1 km.
