DE Aritmetisk progression (P.A.) är en sekvens av siffror där skillnaden mellan två på varandra följande termer alltid är densamma. Denna konstanta skillnad kallas P.A.
Från och med det andra elementet i sekvensen och framåt är siffrorna som visas resultatet av summan av konstanten med värdet av det föregående elementet.
Detta är vad som skiljer det från den geometriska progressionen (PG), för i denna multipliceras siffrorna med förhållandet, medan de i den aritmetiska progressionen läggs till.
Aritmetiska framsteg kan ha ett fast antal termer (ändlig P.A.) eller ett oändligt antal termer (oändligt P.A.).
För att indikera att en sekvens fortsätter på obestämd tid använder vi ellipser, till exempel:
- sekvensen (4, 7, 10, 13, 16, ...) är en oändlig P.A.
- sekvensen (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) är en ändlig P.A.
Varje term i en P.A. identifieras av den position den intar i sekvensen och för att representera varje term använder vi en bokstav (vanligtvis bokstaven De) följt av ett nummer som anger dess position i sekvensen.
Till exempel termen De4 i P.A (2, 4, 6, 8, 10) är siffran 8, eftersom det är numret som upptar den 4: e positionen i sekvensen.
Klassificering av en P.A.
Enligt förhållandevärdet klassificeras aritmetiska progressioner i:
- Konstant: när förhållandet är lika med noll. Till exempel: (4, 4, 4, 4, 4 ...), där r = 0.
- Växande: när förhållandet är större än noll. Till exempel: (2, 4, 6, 8,10 ...), där r = 2.
- nedåtgående: när förhållandet är mindre än noll (15, 10, 5, 0, - 5, ...), där r = - 5
P.A. fastigheter
1: a fastigheten:
I en ändlig P.A. är summan av två termer lika långt från ytterligheterna som summan av ytterligheterna.
Exempel
2: a fastigheten:
Med tanke på tre på varandra följande termer av en P.A., kommer mellanterminen att vara lika med det aritmetiska medelvärdet för de andra två termerna.
Exempel
3: e fastigheten:
I en ändlig P.A. med udda antal termer kommer den centrala termen att vara lika med det aritmetiska medelvärdet mellan termer som är lika långt ifrån det. Den här egenskapen härrör från den första.
Allmän termformel
Var,
an: term som vi vill beräkna
a1: första mandatperioden för P.A.
n: position för termen vi vill upptäcka
r: anledning
Formelförklaring
Eftersom förhållandet mellan en P.A. är konstant kan vi beräkna dess värde från valfria termer, det vill säga:
Därför kan vi hitta värdet av den andra termen av P.A. genom att göra:
För att hitta den tredje termen kommer vi att använda samma beräkning:
Ersätter värdet på a2, som vi hittade tidigare, har vi:
Om vi följer samma resonemang kan vi hitta:
Med beaktande av de resultat som hittats noterar vi att varje term kommer att motsvara summan av den första termen med förhållandet multiplicerat med föregående position.
Denna beräkning uttrycks genom formeln för den allmänna termen P.A., som gör det möjligt för oss att känna till något element i en aritmetisk progression.
Exempel
Beräkna den 10: e termen för P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
Lösning
Först måste vi identifiera det:
De1 = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10: e term).
Genom att ersätta dessa värden i formeln för den allmänna termen har vi:
DeNej = den1 + (n - 1). r
De10 = 26 + (10-1). 5
De10 = 26 + 9 .5
De10 = 71
Därför är den tionde termen för den angivna aritmetiska progressionen lika med 71.
Allmän termformel från vilken k-term som helst
För att definiera någon generisk term, som vi kallar en, har vi ofta inte den första termen a1, men vi känner till någon annan term, som vi kallar ak.
Vi kan använda den allmänna termformeln från valfri k-term:
Observera att den enda skillnaden var ändringen från index 1 i den första formeln till k i den andra.
Varelse,
an: den n: e termen för P.A. (en term i vilken som helst n-position)
ak: den första termen för en P.A. (en term vid vilken k-position som helst)
r: anledningen
Summan av villkoren för en P.A.
För att hitta summan av termer för en ändlig P.A., använd bara formeln:
Var,
sNej: summan av de första n termerna av P.A.
De1: första mandatperioden för P.A.
DeNej: upptar den n: e positionen i sekvensen (en term i position n)
Nej: löptid
Läs också om PA och PG.
Övning löst
Övning 1
PUC / RJ - 2018
Att veta att siffrorna i sekvensen (y, 7, z, 15) är i aritmetisk progression, vad är summan y + z värd?
a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2
För att hitta värdet på z kan vi använda egenskapen som säger att när vi har tre på varandra följande termer kommer mellantermen att vara lika med det aritmetiska medelvärdet för de andra två. Så vi har:
Om z är lika med 11 kommer förhållandet att vara lika med:
r = 11 - 7 = 4
På detta sätt kommer y att vara lika med:
y = 7 - 4 = 3
Därför:
y + z = 3 + 11 = 14
Alternativ: b) 14
Övning 2
IFRS - 2017
I figuren nedan har vi en sekvens av rektanglar, alla i höjd a. Basen för den första rektangeln är b och efterföljande rektanglar är basvärdet för den tidigare plus en måttenhet. Således är basen på den andra rektangeln b + 1 och den tredje är b + 2 och så vidare.
Tänk på uttalandena nedan.
I - Sekvensen för rektangelområdena är en aritmetisk progression av förhållandet 1.
II - Sekvensen för rektangelområdena är en aritmetisk progression av förhållandet a.
III - Sekvensen för områdena för rektanglarna är en geometrisk progression av förhållandet a.
IV - Området för den nionde rektangeln (ANejkan erhållas med formel A.Nej = a. (b + n - 1).
Kontrollera alternativet som innehåller rätt uttalande.
där.
b) II.
c) III.
d) II och IV.
e) III och IV.
Vi beräknar rektanglarnas yta:
A = a. B
DE1 = a. (b + 1) = a. b + a
DE2 = a. (b + 2) = a. B. + 2: a
DE3 = a. (b + 3) = a. b + 3a
Från de uttryck som hittats noterar vi att sekvensen bildar en P.A. med förhållandet lika med De. Fortsättning av sekvensen hittar vi området för den nionde rektangeln, som ges av:
DENej= a. b + (n - 1) .a
DENej = a. b + a. på
sätta De som bevis har vi:
DENej = a (b + n - 1)
Alternativ: d) II och IV.
Övning 3
UERJ
Inse att det hålls ett fotbollsmästerskap där varningarna från idrottare endast representeras av gula kort. Dessa kort omvandlas till böter enligt följande kriterier:
- De två första korten som tas emot genererar inte böter.
- Det tredje kortet genererar böter på R $ 500,00.
- Följande kort genererar böter vars värden alltid höjs med R $ 500,00 i förhållande till värdet av den tidigare boten.
Tabellen visar böterna relaterade till de fem första korten som tillämpas på en idrottsman.
Tänk på en idrottsman som fick 13 gula kort under mästerskapet. Det totala beloppet, i reais, av böterna som genereras av alla dessa kort är:
a) 30000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000
Rätt svar: b) 33 000
Från och med det tredje gula kortet ökar bötesbeloppet i en P.A. med ett förhållande på R $ 500,00. Med tanke på den första terminen, a1, med värdet på det tredje kortet, R $ 500,00.
För att fastställa det totala bötesbeloppet måste vi använda formeln för summan av villkoren i P.A.
Eftersom idrottaren har 13 gula kort, men de två första genererar inte böter, gör vi en P.A. på 13-2 termer, det vill säga 11 termer.
Således har vi följande värden:
a1 = 500
n = 11
r = 500
För att hitta värdet på den nionde termen, a11, använder vi den allmänna termformeln.
an = al + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500
Tillämpa formeln för summan av villkoren för en P.A.
Lös fler övningar i:
Aritmetisk progression - Övningar
Läs mer genom att också läsa:
- Numerisk sekvens
- Geometrisk progression
- Geometrisk progression - Övningar
- Matematiska formler
