Kvadratisk funktionsberäkning

DE kvadratisk funktion, även kallad 2-graders polynomfunktion, är en funktion som representeras av följande uttryck:

f (x) = ax² + bx + c

Var De, B och ç är verkliga siffror och De ≠ 0.

Exempel:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

varelse,

a = 2
b = 3
c = 5

I detta fall är den kvadratiska funktionens polynom av grad 2, eftersom det är den största exponenten för variabeln.

Hur löser jag en kvadratisk funktion?

Kolla in steg för steg genom ett exempel på att lösa den kvadratiska funktionen:

Exempel

Hitta a, b och c i den kvadratiska funktionen som ges av: f (x) = ax² + bx + c, är:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Låt oss först byta ut x av värdena för varje funktion och därmed kommer vi att ha:

f (-1) = 8
till 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (ekvation I)

f (0) = 4
De. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (ekvation II)

f (2) = 2
De. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (ekvation III)

Med den andra funktionen f (0) = 4 har vi redan värdet c = 4.

Så, låt oss ersätta det erhållna värdet med ç i ekvationerna I och III för att bestämma de andra okända (De och B):

instagram story viewer

(Ekvation I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Eftersom vi har ekvationen av De med ekvation I, låt oss ersätta i III för att bestämma värdet på B:

(Ekvation III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Slutligen, för att hitta värdet av De vi ersätter värdena för B och ç som redan har hittats. Snart:

(Ekvation I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Därför är koefficienterna för den givna kvadratiska funktionen:

a = 1
b = - 3
c = 4

Funktionsrötter

Rötterna eller nollorna till andra gradens funktion representerar värdena på x så att f (x) = 0. Funktionens rötter bestäms genom att lösa andra gradens ekvation:

f (x) = ax² + bx + c = 0

För att lösa andra gradens ekvation kan vi använda flera metoder, en av de mest använda är att tillämpa Bhaskara formeldvs:

Exempel

Hitta nollor för funktionen f (x) = x² - 5x + 6.

Lösning:

Varelse
a = 1
b = - 5
c = 6

Genom att ersätta dessa värden i Bhaskaras formel har vi:

x är lika med täljaren minus b plus eller minus kvadratroten av b kvadrat minus 4 a c slutet av roten över nämnaren 2 slutet av bråk är lika med täljaren 5 plus eller minus kvadratrot av 25 minus 24 slutet av roten över nämnaren 2 slutet av fraktionen x med ett abonnemang lika med täljaren 5 plus 1 över nämnare 2 slutet av bråk lika med 6 över 2 lika med 3 x med 2 prenumeration lika med täljaren 5 minus 1 över nämnaren 2 slutet av bråk lika med 4 över 2 är lika med 2

Så rötterna är 2 och 3.

Observera att antalet rötter för en kvadratisk funktion beror på det värde som erhålls av uttrycket: A = b² – 4. FÖRE KRISTUS, som kallas diskriminerande.

Således,

om Δ > 0kommer funktionen att ha två verkliga och distinkta rötter (x₁ ≠ x₂);
om Δ, funktionen kommer inte att ha en riktig rot;
om Δ = 0kommer funktionen att ha två verkliga och lika rötter (x₁ = x₂).

Kvadratisk funktionsgraf

Grafen för andra gradens funktioner är kurvor som kallas parabolor. till skillnad från 1: a gradens funktioner, där man känner till två punkter är det möjligt att rita grafen, i kvadratiska funktioner är det nödvändigt att känna till flera punkter.

Kurvan för en kvadratisk funktion skär x-axeln vid funktionens rötter eller nollor, högst två punkter beroende på värdet på diskriminanten (Δ). Så vi har:

Om Δ> 0 skär grafen x-axeln vid två punkter;
Om Δ
Om Δ = 0 kommer parabolen att röra vid x-axeln endast vid en punkt.

Det finns ännu en punkt, kallad parabollens toppunkt, vilket är det maximala eller minsta värdet för funktionen. Denna punkt hittas med följande formel:

x med v-tecknet lika med täljaren minus b över nämnaren 2 till slutet av bråkutrymmet och y-utrymmet med v-tecknet lika med täljaren minus steget över nämnaren 4 till slutet av bråk

Höjdpunkten representerar funktionens maximala värdepunkt när parabolen är vänd nedåt och minimivärdet när den är vänd uppåt.

Det är möjligt att identifiera kurvans konkavitet genom att endast analysera koefficientens tecken De. Om koefficienten är positiv kommer konkaviteten att vända uppåt och om den är negativ kommer den att vara nedåt, det vill säga:

Så, för att skissa grafen för en 2: a graders funktion kan vi analysera värdet på De, beräkna funktionens nollor, dess toppunkt och även den punkt där kurvan skär y-axeln, det vill säga när x = 0.

Från de givna ordnade paren (x, y) kan vi konstruera parabolen num Kartesiskt plan, genom kopplingen mellan de hittade punkterna.

Entréexamensövningar med feedback

1. (Vunesp-SP) Alla möjliga värden på m som uppfyller 2x ojämlikheten² - 20x - 2m> 0, för alla x som tillhör uppsättningen reais, ges av:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Se Svar

Alternativ b) m> 25

2. (EU-CE) Grafen för den kvadratiska funktionen f (x) = ax² + bx är en parabel vars topp är punkten (1, - 2). Antalet element i uppsättningen x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} som tillhör grafen för denna funktion är:

till 1
b) 2
c) 3
d) 4

Se Svar

Alternativ b) 2

3. (Cefet-SP) Att veta att ekvationerna i ett system är x. y = 50 och x + y = 15, de möjliga värdena för x och y dom är:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10.5), (10.5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Se Svar

Alternativ e) {(5.10), (10.5)}

Läs också: