Trigonometri är ett viktigt tema i matematik som gör det möjligt att känna till sidor och vinklar i en rätt triangel, genom sinus, cosinus och tangent, förutom andra trigonometriska funktioner.
För att förbättra dina studier och utöka din kunskap följer du listan med 8 övningar plus 4 antagningsfrågor, alla löst steg för steg.
Övning 1
På morgonen observerade en byggnads skugga på marken och en person fann att den mättes 63 meter när solens strålar gjorde en vinkel på 30 ° mot ytan. Beräkna byggnadens höjd utifrån denna information.
Rätt svar: Cirka 36,37 m.
Byggnaden, skuggan och solens stråle bestämmer en rätt triangel. Med hjälp av 30 ° -vinkeln och tangenten kan vi bestämma byggnadens höjd.
Eftersom byggnadens höjd är h har vi:
Övning 2
Vid en omkrets med en diameter av 3 bildar ett segment AC, kallat ackord, en 90 ° vinkel med ett annat ackord CB av samma längd. Vad är måttet på strängarna?
Rätt svar: Repets längd är 2,12 cm.
Eftersom segmenten AC och CB bildar en vinkel på 90 ° och har samma längd, är den bildade triangeln jämn och basvinklarna är lika.
Eftersom summan av de inre vinklarna i en triangel är lika med 180 ° och vi redan har en vinkel på 90 °, finns det ytterligare 90 ° kvar som ska delas lika mellan de två basvinklarna. Således är värdet av dessa lika med 45º vardera.
Eftersom diametern är lika med 3 cm är radien 1,5 cm och vi kan använda cosinus på 45 ° för att bestämma strängens längd.
Övning 3
En cyklist som deltar i ett mästerskap närmar sig mållinjen längst upp i en sluttning. Den totala längden på denna sista del av testet är 60 m och vinkeln som bildas mellan rampen och den horisontella är 30 °. Att veta detta, beräkna den vertikala höjden som cyklisten behöver klättra.
Rätt svar: Höjden blir 30 m.
När vi kallar höjden på h har vi:
Övning 4
Följande bild bildas av tre trianglar där höjden h bestämmer två rät vinklar. Elementvärdena är:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Hitta värdet på a + b.
Rätt svar:
Vi kan bestämma mätningarna av segment a och b med hjälp av tangenterna för de givna vinklarna.
Beräkning av a:
Beräkning av b:
Således,
Övning 5
Ett plan startade från stad A och flög 50 km i rak linje tills det landade i stad B. Efteråt flög den ytterligare 40 km, den här gången mot stad D. Dessa två vägar ligger i en 90 ° vinkel mot varandra. På grund av ogynnsamma väderförhållanden fick piloten emellertid ett meddelande från kontrolltornet om att han inte kunde landa i stad D och att han skulle återvända till stad A.
För att göra U-svängen från punkt C måste piloten göra en sväng på hur många grader till höger?
Överväga:
sin 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
solbränna 51 ° = 1,25
Rätt svar: Piloten måste svänga 129 ° till höger.
När vi analyserar figuren ser vi att banan bildar en rätt triangel.
Låt oss kalla vinkeln vi letar efter W. Vinklarna W och Z är kompletterande, det vill säga de bildar en grundvinkel på 180 °.
Således är W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (ekvation 1)
Vår uppgift är nu att bestämma Z-vinkeln och för det kommer vi att använda dess tangent.
Vi måste fråga oss själva: Vilken vinkel har tangenten 1,25?
Problemet ger oss dessa data, tan 51 ° = 1,25.
Detta värde kan också hittas i en trigonometrisk tabell eller med en vetenskaplig miniräknare med funktionen:
Genom att ersätta värdet på Z i ekvation 1 har vi:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
Övning 6
En stråle av monokromatiskt ljus när den passerar från ett medium till ett annat lider avvikelse mot det. Denna förändring i dess förökning är relaterad till medias brytningsindex, vilket visas i följande förhållande:
Snells lag - Descartes
Där i och r är vinklarna för infall och brytning och, n1 och n2, brytningsindex för medel 1 och 2.
När du träffar separationsytan mellan luft och glas ändrar en ljusstråle sin riktning, som visas i figuren. Vad är glasets brytningsindex?
Data: Luftbrytningsindex lika med 1.
Rätt svar: Glasets brytningsindex är lika med .
Ersätta de värden som vi har:
Övning 7
För att dra en träbjälk i sin verkstad, band en låssmed ett rep i stocken och drog den tio meter över en horisontell yta. En kraft på 40 N genom strängen gjorde en vinkel på 45 ° med färdriktningen. Beräkna arbetet för den applicerade kraften.
Rätt svar: Det utförda arbetet är ungefär 84,85 J.
Arbete är en skalär kvantitet som erhålls av produkten av kraft och förskjutning. Om kraften inte har samma riktning som förskjutningen måste vi bryta ner denna kraft och bara beakta komponenten i denna riktning.
I det här fallet måste vi multiplicera kraftens storlek med vinkelns cosinus.
Så vi har:
Övning 8
Mellan två berg var invånarna i två byar tvungna att resa en hård väg upp och ner. För att lösa situationen beslutades att en kabelbrygga skulle byggas mellan byarna A och B.
Det skulle vara nödvändigt att beräkna avståndet mellan de två byarna med den raka linje som bron skulle sträckas på. Eftersom invånarna redan visste städernas höjd och stigningsvinklarna kunde detta avstånd beräknas.
Basera på diagrammet nedan och veta att städernas höjd var 100 m, beräkna broens längd.
Rätt svar: Bron bör ha en längd på cirka 157,73 m.
Bryggans längd är summan av sidorna intill de angivna vinklarna. När vi kallar höjden på h har vi:
Beräkning med 45 ° vinkel
Beräkning med en vinkel på 60 °
För att bestämma brygglängden summerar vi de erhållna värdena.
fråga 1
Cefet - SP
I triangeln ABC nedan är CF = 20 cm och BC = 60 cm. Markera mätningarna av segmenten AF respektive BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Svar: b) 10, 20
För att bestämma AF
Vi noterar att AC = AF + CF, så vi måste:
AF = AC - CF (ekvation 1)
CF ges av problemet, lika med 20 cm.
AC kan bestämmas med 30 ° sinus.
BC tillhandahålls av problemet, lika med 60 cm.
Att ersätta i ekvation 1 har vi:
För att bestämma BE
Första observationen:
Vi verifierar att figuren inuti triangeln är en rektangel på grund av de rätta vinklarna som bestäms i figuren.
Därför är deras sidor parallella.
Andra observationen:
BE-segmentet bildar en rätvinklig triangel med en vinkel på 30 ° där: höjden är lika med AF, som vi just har bestämt, och BE är hypotenusen.
Göra beräkningen:
Vi använder 30 ° sinus för att bestämma BE
fråga 2
EPCAR-MG
Ett flygplan lyfter från punkt B under en konstant lutning på 15 ° till det horisontella. 2 km från B är den vertikala projektionen C av den högsta punkten D i ett 600 m högt bergskedja, som visas i figuren.
Data: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Det är korrekt att säga att:
a) Planet kolliderar inte med sågen innan den når 540 m i höjd.
b) Det kommer att bli en kollision mellan planet och sågen på en höjd av 540 m.
c) Planet kolliderar med sågen vid D.
d) Om planet lyfter 220 m före B och bibehåller samma lutning, kommer ingen plan att kollidera med sågen.
Svar: b) Det kommer att kollidera mellan planet och sågen på en höjd av 540 m.
Först är det nödvändigt att använda samma multipel av längdmätningsenheten. Därför går vi 2 km till 2000 m.
Efter samma initiala flygförhållanden kan vi förutsäga höjden vid vilken planet kommer att vara i den vertikala projektionen av punkt C.
Med 15 ° tangenten och definierar höjden som h har vi:
fråga 3
ENEM 2018
För att dekorera en rak cirkulär cylinder används en rektangulär remsa av transparent papper, på vilken en diagonal som bildar 30 ° med den nedre kanten ritas i fetstil. Radien på cylinderns botten mäter 6 / π cm, och vid upprullning av remsan erhålls en linje i form av en spiral, som visas i figuren.
Värdet på mätningen av cylinderns höjd, i centimeter, är:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Svar: b) 24√3
Med tanke på figuren märker vi att 6 varv gjordes runt cylindern. Eftersom det är en rak cylinder kommer vi att ha en cirkel som bas var som helst i höjden.
Att beräkna måttet på triangelns bas.
Längden på en cirkel kan erhållas från formeln:
Där r är radien e, lika med ,vi har:
Hur är 6 varv:
Vi kan använda 30 ° solbränna för att beräkna höjd.
fråga 4
ENEM 2017
Strålar från solljus når ytan av en sjö i X-vinkel med dess yta, som visas i figuren.
Under vissa förhållanden kan man anta att dessa strålars ljusintensitet på sjöytan ges ungefär av I (x) = k. sin (x), k är konstant och antar att X är mellan 0 ° och 90 °.
När x = 30º minskas ljusintensiteten till vilken procentandel av dess maximala värde?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Svar: B) 50%
Genom att ersätta 30 ° sinusvärdet i funktionen får vi:
Efter att ha minskat värdet på k med hälften är intensiteten 50%.
Öva fler övningar i:
Trigonometriövningar
Utöka din kunskap med:
Trigonometri i rätt triangel
Metriska relationer i rektangel triangeln
Trigonometri
