Invers matrisberäkning: egenskaper och exempel

Den inversa matrisen eller den inverterbara matrisen är en typ av kvadratisk matrisdet vill säga den har samma antal rader (m) och kolumner (n).

Det inträffar när produkten av två matriser resulterar i en identitetsmatris av samma ordning (samma antal rader och kolumner).

Således, för att hitta det inversa av en matris, används multiplikation.

DE. B = B. A = jag_Nej (när matris B är invers av matris A)

Men vad är identitetsmatrisen?

DE Identitetsmatris definieras när elementen i huvuddiagonalen alla är lika med 1 och de andra elementen är lika med 0 (noll). Det indikeras av jag_Nej:

Inverse Matrix Properties

Det finns bara en invers för varje matris.
Inte alla matriser har en invers matris. Det är bara inverterbart när produkterna från fyrkantiga matriser resulterar i en identitetsmatris (I_Nej)
Den inversa matrisen för en invers motsvarar själva matrisen: A = (A^-1)^-1
Matrisen som transponeras av en invers matris är också invers: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
Den inversa matrisen för en transponerad matris motsvarar transponeringen av den inversa: (A^-1 DE^{t) -1}

instagram story viewer

Den inversa matrisen för en identitetsmatris är lika med identitetsmatrisen: I^-1 = Jag

Se också: Matriser

Inverse Matrix Exempel

2x2 omvänd matris

3x3 invers matris

Steg för steg: Hur man beräknar den omvända matrisen?

Vi vet att om produkten av två matriser är lika med identitetsmatrisen har denna matris en invers.

Observera att om matris A är den inversa av matris B används notationen: A^-1.

Exempel: Hitta matrisens invers under ordningen 3x3.

Först och främst måste vi komma ihåg att A. DE^-1= I (Matrisen multiplicerad med dess inversa kommer att resultera i identitetsmatrisen I_Nej).

Varje element i den första raden i den första matrisen multipliceras med varje kolumn i den andra matrisen.

Därför multipliceras elementen i den andra raden i den första matrisen med kolumnerna i den andra.

Och slutligen, den tredje raden i den första med kolumnerna i den andra:

Genom att matcha elementen med identitetsmatrisen kan vi upptäcka värdena för:

a = 1
b = 0
c = 0

Att känna till dessa värden kan vi beräkna de andra okända i matrisen. I den tredje raden och första kolumnen i den första matrisen har vi en + 2d = 0. Så låt oss börja med att hitta värdet på d, genom att ersätta de hittade värdena:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

På samma sätt kan vi i tredje raden och andra kolumnen hitta värdet på och:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Fortsätter har vi i tredje raden i den tredje kolumnen: c + 2f. Observera att den andra identitetsmatrisen i denna ekvation inte är lika med noll, utan lika med 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

När vi flyttar till andra raden och den första kolumnen hittar vi värdet på g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

I andra raden och andra kolumnen kan vi hitta värdet på H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Slutligen, låt oss hitta värdet av i med ekvationen för andra raden och tredje kolumnen:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Efter att ha upptäckt alla okända värden kan vi hitta alla element som utgör den inversa matrisen för A: