Proportionella kvantiteter: direkt och omvänt proportionella kvantiteter

Proportionella kvantiteter har deras värden ökat eller minskat i ett förhållande som kan klassificeras som direkt eller omvänd proportionalitet.

Vad är proportionella mängder?

En kvantitet definieras som något som kan mätas eller beräknas, oavsett om det är hastighet, area eller volym av a material, och det är användbart att jämföra med andra mått, ofta av samma enhet, som representerar a anledning.

Andel är ett jämställdhetsförhållande mellan förhållanden och presenterar således jämförelsen av två kvantiteter i olika situationer.

rak a över rak b lika med rak c över rak d

Jämställdheten mellan a, b, c och d läses på följande sätt: a är till b som c är till d.

Förhållandet mellan kvantiteterna kan uppstå på ett direkt eller omvänd proportionellt sätt.

Hur fungerar direkt och omvänt proportionella mängder?

När variationen av en kvantitet får den andra att variera i samma proportion, har vi en direkt proportionalitet. Omvänd proportionalitet observeras när en förändring i en kvantitet ger en motsatt förändring i den andra.

direkt proportionalitet

instagram story viewer

Två kvantiteter är direkt proportionella när variationen av den ena innebär variationen av den andra i samma proportion, det vill säga genom att fördubbla en av dem, den andra fördubblas också; minskar med hälften, den andra minskar också med samma mängd... och så vidare.

Grafiskt bildar den direkta proportionella variationen av en kvantitet i förhållande till en annan en rak linje som passerar genom ursprunget, eftersom vi har y = k.x, där k är en konstant.

direkt proportionellt storleksdiagram — y-diagram proportionellt till x

Exempel på direkt proportionalitet

En skrivare kan till exempel skriva ut 10 sidor per minut. Om vi fördubblar tiden fördubblar vi antalet utskrivna sidor. På samma sätt, om vi stoppar skrivaren på en halv minut, får vi hälften av antalet förväntade utskrifter.

Nu kommer vi med siffror att se förhållandet mellan de två kvantiteterna.

I en tryckeri görs utskrifter av skolböcker. På två timmar görs 40 utskrifter. På tre timmar producerar samma maskin ytterligare 60 intryck, på 4 timmar, 80 intryck och på 5 timmar, 100 intryck.

Tid (timmar)	2	3	4	5
Intryck (antal)	40	60	80	100

Proportionalitetskonstanten mellan kvantiteterna hittas genom förhållandet mellan maskinens arbetstid och antalet kopior som gjorts.

tabellrad med cell med 2 över 40 ände av cell lika med cell med 3 över 60 ände av cell lika med cell med 4 över 80 ände av cell cell är lika med slutet av tabellen tabellrad med cell med 5 över 100 ände av celler lika med cell med 1 över 20 slutet av celländen av tabell

Kvoten för denna sekvens (1/20) kallas proportionalitetskonstant (k).

Arbetstiden (2, 3, 4 och 5) är direkt proportionell mot antalet kopior (40, 60, 80 och 100), eftersom genom att fördubbla arbetstiden fördubblas antalet kopior också.

omvänd proportionalitet

Två kvantiteter är omvänt proportionella när ökningen av den ena innebär minskningen av den andra, det vill säga genom att fördubbla en mängd minskar motsvarande med hälften; tredubblar en storlek, den andra minskar den till en tredjedel... och så vidare.

Grafiskt bildar den omvänt proportionella variationen av en storlek i förhållande till en annan en hyperbol, eftersom vi har y = k / x, där k är en konstant.

omvänt proportionellt storleksdiagram — y-diagram omvänt proportionellt mot x

Omvänd andelsexempel

När hastigheten ökas är tiden för att genomföra en kurs kortare. På samma sätt, när hastigheten minskar, kommer det att behövas mer tid för att ta samma väg.

Se nedan en tillämpning av förhållandet mellan dessa kvantiteter.

João bestämde sig för att räkna den tid det tog att cykla hemifrån till skolan i olika hastigheter. Notera den inspelade sekvensen.

Tid (min)	2	4	5	1
Hastighet (m / s)	30	15	12	60

Vi kan göra följande relation med sekvensnumren:

radbord med cell med två mellanslag. mellanslag 30 slutet av cellen är lika med cellen med 4 mellanslag. 15 rymdänden på cellen är lika med cellen med 5 mellanslag. mellanslag 12 slutet av cellen är lika med slutet av tabellen tabellrad med cell med 1 mellanslag. mellanslag 60 slutet av cellen är lika med 60 slutet av tabellen

Att skriva som lika skäl har vi:

tabellrad med cell med täljare 2 över nämnarens startstil visar 1 över 30 slutstilsändfraktion slutet av cellen är lika med cell med täljaren 4 över nämnaren start stil visa 1 över 15 slut stil slut fraktion slutet av cell är lika med cell med täljare 5 över nämnaren start stil visa 1 över 12 slut stil slutet av bråk slutet av cellen är lika med slutet av tabellen tabell rad med cell med täljare 1 över nämnarens start stil visa 1 över 60 slut stil slutet bråk slutet cell slutet av tabell

I detta exempel är tidssekvensen (2, 4, 5 och 1) omvänt proportionell mot den genomsnittliga pedalhastigheten (30, 15, 12 och 60) och proportionalitetskonstant (k) mellan dessa kvantiteter är 60.

Observera att när ett sekvensnummer fördubblas halveras motsvarande sekvensnummer.

Se också: Proportionalitet

Övningar kommenterade direkta och omvänt proportionella kvantiteter

fråga 1

Klassificera nedan angivna kvantiteter i direkt eller omvänd proportionell.

a) Bränsleförbrukning och körda kilometer med ett fordon.
b) Antal tegelstenar och en väggarea.
c) Rabatt på en produkt och det slutliga betalda priset.
d) Antal kranar med samma flöde och tid för att fylla en pool.

Se Svar

Korrekta svar:

a) Direkt proportionella kvantiteter. Ju fler kilometer ett fordon kör, desto större bränsleförbrukning för att slutföra rutten.

b) Direkt proportionella kvantiteter. Ju större yta på en vägg, desto större blir antalet tegelstenar.

c) Omvänd proportionella mängder. Ju större rabatt som ges vid köp av en produkt, desto lägre blir det belopp som kommer att betalas för varan.

d) Omvänd proportionella kvantiteter. Om kranarna har samma flöde släpper de ut samma mängd vatten. Ju fler kranar öppnas, desto mindre tid tar det därför att den mängd vatten som behövs för att fylla poolen släpps ut.

fråga 2

Pedro har en pool i sitt hus som är 6 meter lång och rymmer 30000 liter vatten. Hans bror Antônio bestämmer sig också för att bygga en pool med samma bredd och djup, men 8 m lång. Hur många liter vatten passar i Antônios pool?

a) 10000 liter
b) 20 000 L.
c) 30000 liter
d) 40000 liter

Se Svar

Rätt svar: d) 40 000 L.

Gruppering av de två kvantiteterna som ges i exemplet har vi:

magnituder	Peter	Antonio
Poollängd (m)	6	8
Vattenflöde (L)	30 000	x

Enligt grundläggande egenskap av proportioner, i förhållandet mellan kvantiteterna, är produkten av extremiteterna lika med medelprodukten och vice versa.

tabellrad med cell med rak a över rak b ände av cell lika med cell med rak c över rak d ände av cell dubbelpil vänster och höger cell med rak a. rak d slutet av cellen är lika med rad med tomt tomt tomt nedåt pil tomt av tabellen tabellrad med cell med rak b. rak c ände av cell tom linje med högerpil med krok cell med produktutrymme för extrema utrymmen slutet av cellen slutet av bordet utrymme utrymme utrymme utrymme space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space Product space innebär att

För att lösa problemet använder vi x som okänt, det vill säga det fjärde värdet som måste beräknas utifrån de tre värdena som anges i uttalandet.

Fel vid konvertering från MathML till tillgänglig text.

Med den grundläggande egenskapen för proportioner beräknar vi medelprodukten och extremprodukten för att hitta värdet på x.

6 utrymme. rakt utrymme x utrymme är lika med utrymme 8 utrymme. utrymme 30 utrymme 000 utrymme utrymme 6 rakt x utrymme lika med utrymme utrymme 240 utrymme 000 utrymme utrymme utrymme rakt utrymme x utrymme lika med utrymme täljare 240 utrymme 000 över nämnaren 6 slutet av fraktionen utrymme utrymme utrymme utrymme rakt utrymme x utrymme lika med utrymme 40 utrymme 000 rakt utrymme L utrymme utrymme rymd rymd rymd rymd rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymden rymdutrymme

Observera att bland de kvantiteter som finns direkt proportionalitet: ju större poollängden är, desto större mängd vatten håller den.

Se också: Förhållande och proportion

fråga 3

I en cafeteria förbereder herr Alcides jordgubbsjuice varje dag. På 10 minuter och med 4 blandare kan cafeterian förbereda de juicer som kunderna beställer. För att minska förberedelsestiden fördubblade Alcides antalet blandare. Hur lång tid tog det för juicer att vara redo med de 8 blandarna som fungerar?

a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min

Se Svar

Rätt svar: d) 5 min.

Blandare

(siffra)

Tid

(minuter)

Observera att det finns en fråga bland storleken på frågan omvänd proportionalitet: ju fler blandare som gör juice desto mindre tid tar det för alla att vara redo.

För att lösa detta problem måste tidsstorleken därför inverteras.