Polynom är algebraiska uttryck som bildas av siffror (koefficienter) och bokstäver (bokstavliga delar). Bokstäverna i ett polynom representerar de okända värdena för uttrycket.
Exempel
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25x2 - 9 år2
Monomium, Binomial och Trinomial
Polynom består av villkor. Den enda operationen mellan elementen i en term är multiplikation.
När ett polynom bara har en term kallas det a monomial.
Exempel
a) 3x
b) 5bc
c) x2y3z4
samtalen binomialer är polynomier som endast har två monomier (två termer), åtskilda av en additions- eller subtraktionsoperation.
Exempel
a) till2 - B2
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd2
redan den trinomials är polynomier som har tre monomier (tre termer), åtskilda av addition eller subtraktion.
Exempels
yxa2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10y
centimeter3n + m2 + n4
Grad av polynom
Graden av ett polynom ges av exponenterna för den bokstavliga delen.
För att hitta graden av ett polynom måste vi lägga till exponenterna för bokstäverna som utgör varje term. Den största summan kommer att vara graden av polynom.
Exempel
a) 2x3 + y
Exponenten för den första terminen är 3 och den andra termen är 1. Eftersom den största är 3 är graden av polynom 3.
b) 4x2y + 8x3y3 - xy4
Låt oss lägga till exponenterna för varje term:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3y3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Eftersom den största summan är 6 är graden av polynom 6
Notera: Nollpolynomet är en som har alla koefficienter lika med noll. När detta inträffar definieras inte graden av polynom.
Operationer med polynom
Se nedan exempel på operationer mellan polynom:
Lägga till polynom
Vi gör denna operation genom att lägga till koefficienterna för liknande termer (samma bokstavsdel).
(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y
Polynomisk subtraktion
Minustecknet framför parenteserna vänder tecknen inuti parentesen. Efter att ha tagit bort parenteserna måste vi lägga till liknande termer.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Multiplikation av polynom
I multiplikation måste vi multiplicera term för term. I multiplikationen av lika bokstäver upprepas och läggs exponenterna till.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Avdelningen för polynom
Notera: I polynomdelning använder vi nyckelmetoden. Först utför vi uppdelningen mellan de numeriska koefficienterna och sedan maktfördelningen för samma bas. För att göra detta, behåll basen och subtrahera exponenterna.
Polynomfaktoring
Att genomföra faktorisering av polynom har vi följande fall:
Vanlig bevisfaktor
ax + bx = x (a + b)
Exempel
4x + 20 = 4 (x + 5)
gruppering
ax + bx + ay + med = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Exempel
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Perfect Square Trinomial (tillägg)
De2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Exempel
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Perfect Square Trinomial (skillnad)
De2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Exempel
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Skillnad mellan två rutor
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Exempel
x2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Perfect Cube (tillägg)
De3 + 3: e2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Exempel
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. x2. 2 + 3. x. 22 + 23 = (x + 2)3
Perfekt kub (skillnad)
De3 - 3: e2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Exempel
y3 - 9 år2 + 27y - 27 = y3 - 3. y2. 3 + 3. y. 32 - 33 = (y - 3)3
Läs också:
- Anmärkningsvärda produkter
- Anmärkningsvärda produkter - övningar
- Polynomfunktion
Lösta övningar
1) Klassificera följande polynomer i monomier, binomialer och trinomialer:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomium
b) trinomial
c) binomial
2) Ange graden av polynom:
a) xy3 + 8xy + x2y
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x
a) klass 4
b) klass 4
c) klass 2
d) klass 11
3) Vad är omkretsvärdet för figuren nedan:
Figurens omkrets hittas genom att lägga till alla sidor.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Hitta figurens område:
Området för rektangeln hittas genom att multiplicera basen med höjden.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Faktorera polynom
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10y + y2
c) 9 - k2
a) Eftersom det finns vanliga faktorer, ta reda på dessa faktorer som bevis: 2ab (4 + a - 2b)
b) Perfekt fyrkantigt trinomium: (5 + y)2
c) Två kvadratisk skillnad: (3 + k). (3 - k)
Se också: Algebraiska uttryck och Övningar om algebraiska uttryck
