Likheten mellan trianglar: Kommenterade och lösta övningar

DE triangellikhet används för att hitta det okända måttet på en triangel genom att känna till måtten på en annan triangel.

När två trianglar är lika är måtten på motsvarande sidor proportionella. Detta förhållande används för att lösa många geometriska problem.

Så utnyttja de övningar som har kommenterats och löst för att rensa alla dina tvivel.

Problem löst

1) Sailor's Apprentice - 2017

Se figuren nedan

En byggnad kastar en 30 m lång skugga på marken i samma ögonblick som en 6 m lång person kastar en 2,0 m skugga. Man kan säga att byggnadens höjd är värd

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Se Svar

Vi kan överväga att byggnaden, dess projicerade skugga och solens stråle bildar en triangel. På samma sätt har vi också en triangel bildad av personen, hans skugga och solens stråle.

Med tanke på att solens strålar är parallella och att vinkeln mellan byggnaden och marken och personen är marken är lika med 90º, trianglarna, som anges i figuren nedan, är lika (två vinklar är lika med).

Eftersom trianglarna är lika kan vi skriva följande proportion:

Alternativ: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

I figuren har rektangel ABCD sidor med längden AB = 4 och BC = 2. Låt M vara mittpunkten på sidan och N mittpunkten på sidan . Segmenten fånga upp segmentet vid punkterna E respektive F.

Arean för triangel AEF är lika med

Se Svar

Området för triangel AEF kan hittas genom att minska arean för triangel ABE från området för triangel AFB, som visas nedan:

Låt oss börja med att hitta området för AFB-triangeln. För detta måste vi ta reda på höjdvärdet för denna triangel, eftersom basvärdet är känt (AB = 4).

Observera att trianglarna AFB och CFN är lika eftersom de har två lika stora vinklar (fall AA), som visas i figuren nedan:

Låt oss plotta höjden H₁, relativt sidan AB, i triangel AFB. Eftersom måttet på sidan CB är lika med 2 kan vi överväga att den relativa höjden på sidan NC i triangeln FNC är lika med 2 - H₁.

Vi kan sedan skriva följande proportion:

Att känna till triangelns höjd kan vi beräkna dess yta:

För att hitta området för triangeln ABE måste du också beräkna dess höjdvärde. För detta kommer vi att använda det att ABM- och AOE-trianglarna, som anges i figuren nedan, liknar varandra.

Dessutom är triangel OEB en rätt triangel och de andra två vinklarna är lika (45º), så det är en likbent triangel. Således är de två benen i denna triangel värt H₂, som bilden nedan:

Sålunda är sidan AO för triangeln AOE lika med 4 - H_2. Baserat på denna information kan vi ange följande andel:

Genom att känna till höjdvärdet kan vi nu beräkna ytan av triangeln ABE:

Således kommer arean av triangeln AFE att vara lika med:

Alternativ: d)

3) Cefet / MG - 2015

Följande illustration representerar ett rektangulärt biljardbord med en bredd och längd som är lika med 1,5 respektive 2,0 m. En spelare måste kasta den vita bollen från punkt B och slå den svarta bollen vid punkt P utan att slå någon av de andra först. Eftersom den gula är vid punkt A, kommer den här spelaren att kasta den vita bollen till punkt L, så att den kan studsa och kollidera med den svarta.

Om vinkeln på bollens infallsväg på sidan av bordet och studsvinkeln är lika, som visas i figuren, är avståndet från P till Q, i cm ungefär

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Se Svar

Trianglarna, markerade med rött i bilden nedan, liknar varandra, eftersom de har två lika stora vinklar (vinkel lika med α och vinkel lika med 90 °).

Därför kan vi skriva följande proportion:

Alternativ: a) 67

4) Military College / RJ - 2015

I en triangel ABC hör punkterna D och E till sidorna AB och AC och är sådana att DE / / BC. Om F är en punkt av AB så att EF / / CD och mätningarna av AF respektive FD e är 4 respektive 6, är mätningen av segmentet DB:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Se Svar

Vi kan representera triangeln ABC, som visas nedan:

Eftersom segmentet DE är parallellt med BC, är trianglarna ADE och ABC lika eftersom deras vinklar är kongruenta.

Vi kan sedan skriva följande proportion:

Trianglarna FED och DBC är också lika, eftersom segmenten FE och DC är parallella. Följaktligen gäller även följande andel:

Isolera y i denna andel har vi:

Ersätta y-värdet i den första jämställdheten:

Alternativ: a) 15

5) Epcar - 2016

Ett land i form av en höger triangel kommer att delas upp i två delar av ett staket som görs på halvan av halvhöjden, som visas i figuren.

Det är känt att sidorna AB och BC för denna terräng mäter 80 m respektive 100 m. Således är förhållandet mellan omkretsen av parti I och omkretsen av parti II, i den ordningen

Se Svar

För att ta reda på förhållandet mellan omkretsarna måste vi känna till värdet på alla sidor av figur I och figur II.

Observera att halvan av hypotenusen delar BC-sidan i två kongruenta segment, så CM- och MB-segmenten mäter 50 m.

Eftersom triangeln ABC är en rektangel kan vi beräkna sidan AC med hjälp av Pythagoras sats. Observera dock att denna triangel är en pythagoransk triangel.

Således är hypotenusen lika med 100 (5. 20) och ett två ben lika med 80 (4.20), då kan det andra benet bara vara lika med 60 (3.20).

Vi identifierade också att trianglarna ABC och MBP är lika (fall AA), eftersom de har en gemensam vinkel och den andra är lika med 90 °.

Så för att hitta värdet på x kan vi skriva följande proportion:

Värdet på z kan hittas med tanke på andelen:

Vi kan också hitta värdet på y genom att göra:

Nu när vi känner till alla sidor kan vi beräkna omkretsarna.

Perimeter av figur I:

Perimeter av figur II:

Därför kommer förhållandet mellan omkretsarna att vara lika med:

Alternativ: d)

6) Enem - 2013

Ägaren till en gård vill sätta en stödstav för att bättre säkra två stolpar med längder lika med 6 m och 4 m. Figuren representerar den verkliga situationen där stolparna beskrivs av segmenten AC och BD och stången representeras av EF-segmentet, allt vinkelrätt mot marken, vilket indikeras av det raka linjesegmentet AB. Segmenten AD och BC representerar stålkablar som kommer att installeras.

Vad bör värdet på stånglängden EF vara?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Se Svar

För att lösa problemet, låt oss kalla stamhöjden som z och mätningarna av AF och FB segmenten av x och y, såsom visas nedan:

Triangel ADB liknar triangel AEF genom att båda har en vinkel lika med 90 ° och en gemensam vinkel, så de är lika i fallet AA.

Därför kan vi skriva följande proportion:

Genom att multiplicera "i ett kors" får vi jämlikhet:

6x = h (x + y) (I)

Å andra sidan kommer trianglarna ACB och FEB också att vara lika, av samma skäl som presenteras ovan. Så vi har andelen:

Lösa på samma sätt:

4y = h (x + y) (II)

Observera att ekvationerna (I) och (II) har samma uttryck efter likhetstecknet, så vi kan säga att:

6x = 4y

Ersätter värdet på x i den andra ekvationen:

Alternativ: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

I figuren är triangeln ABC rektangulär med sidorna BC = 3 och AB = 4. Dessutom hör punkt D till nyckelbenet. , punkten E som tillhör nyckelbenet och punkt F tillhör hypotenusen , så att DECF är ett parallellogram. om , så området för DECF-parallellogrammet är värt

Se Svar

Parallellogramområdet hittas genom att multiplicera basvärdet med höjden. Låt oss kalla h höjden och x basmåttet, som visas nedan:

Eftersom DECF är ett parallellogram är dess sidor parallella två och två. På detta sätt är sidorna AC och DE parallella. Så vinklarna de är likadana.

Vi kan sedan identifiera att trianglarna ABC och DBE är lika (fall AA). Vi har också att hypotenusen för triangel ABC är lika med 5 (triangel 3,4 och 5).

På detta sätt, låt oss skriva följande proportion:

För att hitta måttet x för basen kommer vi att överväga följande proportion:

Vi beräknar parallellogramområdet:

Alternativ: a)