Vi vet som reella tal alla rationella tal och irrationell. Genom att studera numeriska uppsättningar, är det viktigt att förstå att de följer mänsklighetens behov och historia, de numeriska uppsättningarna är:
- uppsättning naturliga tal
- heltal
- uppsättning rationella siffror
- uppsättning irrationella siffror
- uppsättning av reella tal
Du verkliga siffror har egenskaper såsom: associerande, kommutativa, existensen av det neutrala elementet för addition och multiplikation, existensen av ett omvänt element i multiplikation och distribuerande. de verkliga siffrorna kan representeras på den verkliga linjen - hur man representerar dem på ett ordnat sätt.
Läs också: Vad är primtal?
Vilka är de verkliga siffrorna?
Vi känner som reella tal den uppsättning som bildas av förening av rationella och irrationella siffror. Det är ganska vanligt att arbeta med dem, men uppsättningen av verkliga siffror var inte den första som dyker upp i historien.
naturliga tal
O första numeriska uppsättningen
den bildades av de naturliga siffrorna. De skapades från människornas grundläggande behov av att räkna och räkna objekt i deras dagliga liv. Du naturliga tal dom är:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
heltal
Med utvecklingen av samhället förändrades längtan från människan och behöver arbeta med negativa siffror. Operationer som 4 - 6, som i uppsättningen naturliga tal inte var vettiga, började göra det med uppkomsten av denna nya uppsättning. Uppsättningen av heltal kom med tillägget av negativa siffror i uppsättningen naturliga tal, det vill säga det bildas av de naturliga siffrorna och motsatsen till dem.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
rationella nummer
Det visar sig att, trots det, med tillägget av de negativa siffrorna, var inte uppsättningen heltal tillräckligt, eftersom forntida Egypten, är det ganska vanligt att använda siffror som inte är heltal. Det var då som behovet av att formalisera en ny uppsättning insåg: uppsättningen som bildades av alla siffror som kan representeras av en bråkdel är känt som rationella tal.
Till skillnad från uppsättningen heltal, i det rationella det är inte möjligt att skriva en lista med termer med sina föregångare och efterträdare, för med tanke på de rationella siffrorna kommer det alltid att finnas ett annat rationellt tal mellan dem. Till exempel, mellan 1 och 2 finns 1,5; mellan 1 och 1,5 finns 1,25; och så vidare. För att representera de rationella siffrorna använder vi därför följande notation:
I denna notation är det rationella talet det som kan representeras av fraktionen De under B, på vad De är ett heltal och B är ett heltal som inte är noll.
I uppsättningen rationella siffror, alla heltal inkluderades som redan var kända, eftersom de alla kan representeras som en bråkdel, förutom de exakta decimaltalen och periodiska tionder, positiv och negativ.
Se också: Vad är ordinära tal?
irrationella siffror
I motsats till definitionen av rationella tal finns det tal som inte kan representeras som en bråkdel. Vissa matematiker har studerat dem i tid, i ett försök att göra denna framställning, men det är inte möjligt. Dessa siffror är icke-periodiska tiondet och rötter inte exakt, som slutligen genererar icke-periodiska tionder som ett resultat. Talet π är till exempel ett irrationellt tal som är ganska vanligt i vardagen. Uppsättningen irrationella siffror är inte listbar, liksom rationella siffror, och representeras av bokstaven Jag.
Exempel:
- √2 → icke-exakta rötter är irrationella tal;
- -√5 → rötter inte exakt även om negativa är irrationella tal;
- 3.123094921... → icke-periodiska decimaler är irrationella tal.
riktiga nummer
Eftersom alla naturliga tal och heltal betraktas som rationella kan siffror hittills vara klassificeras i två stora uppsättningar, uppsättningen rationella nummer och uppsättningen siffror irrationell. Uppsättningen av reella tal är inget annat än förening av rationella och irrationella siffror.
R = {Q U I}
Hittills kallas alla siffror vi känner för riktiga tal.
Operationer med verkliga siffror
De operationer som involverar verkliga tal är de som är kända för alla tidigare siffror. Är de:
- tillägg
- subtraktion
- division
- multiplikation
- potentiering
- strålning
För att utföra någon av dessa operationer mellan verkliga siffror är det ingen skillnad från operationer med tidigare siffror.
Med tanke på sådana operationer är det också viktigt att lyfta fram det det finns egenskaper i uppsättningen av reella tal.
Egenskaper för reella tal
Det är viktigt att förstå att egenskaperna hos reella tal är konsekvenserna av dess definition och är användbara för att utföra operationer. Är de:
- existensen av ett neutralt element för addition och multiplikation
- kommutativ egendom
- associativ egenskap
- distribuerande egendom
- existensen av en invers
neutralt element
Vara De ett verkligt antal.
Det finns ett nummer som läggs till De, resulterar i sig själv De:
De + 0 = De
0 är det neutrala elementet i summan..
Det finns ett tal som multipliceras med De, resulterar i sig själv De.
De · 1 = De
1 är det neutrala elementet av multiplikation.
Kommutativ egendom
Vara De och B två reella tal.
I antingen tillägg eller multiplikation kommer inte siffran att ändra resultatet.
De + B = B + De
a · b = b · a
associativ egenskap
Vara De, B och ç riktiga nummer.
I både addition och multiplikation är de två manövrerade siffrorna likgiltiga för vilken ordning som helst.
(De + B) + ç = De + (B + ç)
(a · b) · Ç = De· (före Kristus)
distribuerande egendom
Vara De, B och ç riktiga nummer.
Den fördelande egenskapen visar att produkt av summan är lika med summan av produkterna.
ç (a + b) = ca + cb
Förekomsten av en invers
Vara De ett icke-nollvärde.
för varje verkligt antal De skiljer sig från noll, finns det ett tal som produkten matar in De och detta tal är lika med 1.
representation på rak
Vi kan representera uppsättningen reella tal i en rad, eftersom det finns en väldefinierad ordningsprincip för honom. Denna representation på linjen är känd som den verkliga linjen eller redet är numeriskt och det är ganska vanligt, även i studien av det kartesiska planet.
Också tillgång: Vad är fraktion?
lösta övningar
Fråga 1 - Vänligen bedöm följande uttalanden:
I - Periodiska decimaler är reella tal.
II - Varje verkligt tal är rationellt eller irrationellt.
III - Inte alla heltal är naturliga.
Genom att analysera uttalandena kan vi säga att:
A) bara jag är falsk.
B) endast II är falskt.
C) endast III är falskt.
D) alla är sanna.
E) alla är falska.
Upplösning
Alternativ D.
I - Det är sant, eftersom tiondena är irrationella tal är de följaktligen verkliga tal.
II - Det är sant, eftersom uppsättningen av reella tal är föreningen av verkliga och irrationella tal.
III - Sant, eftersom negativa tal, som -2 och -5, är heltal, men inte naturliga.
Fråga 2 - Kolla in följande egenskaper:
Jag - kommutativ egendom
II - fördelande egendom
III - associerande egendom
Analysera följande operationer och markera dem med deras respektive egenskaper:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Vilket av alternativen motsvarar rätt ordningsföljd:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Upplösning
Alternativ A.
1 - (II) I det här fallet hände den fördelande egenskapen, eftersom notera att 3 multiplicerades med var och en av faktorerna för operationen.
2 - (I) I det här fallet ändrar inte faktornas ordning produkten, multiplikationens kommutativitet.
3 - (III) Vi har den associerande egenskapen, eftersom ordningen i vilken dessa element läggs till inte ändrar summan.
4 - (I) Här har vi åter kommutativitet, eftersom paketets ordning inte ändrar summan.
