Vi etablerade en ockupation när vi relaterar en eller flera kvantiteter. En del av naturfenomen kan studeras tack vare utvecklingen inom detta område av matematik. Studiet av funktioner är uppdelat i två delar, vi har den allmänna delen, där vi studerar begreppallmän, och den specifika delen, där vi studerar särskilda fall, såsom polynomfunktioner och exponentiella funktioner.
Se också: Hur ritar jag en funktion?
Vad är funktioner?
En funktion är en applikation som relaterar elementen i två uppsättningar inte tom. Tänk på två icke-tomma uppsättningar A och B, där en funktion f relatera varje element från A till bara en element av B.
För att bättre förstå denna definition, föreställ dig en taxiresa. För varje resa, det vill säga för varje sträcka som finns, finns det ett annat och unikt pris, det vill säga det är ingen mening för en resa att ha två olika priser.
Vi kan representera den här funktionen som tar element från uppsättning A till uppsättning B på följande sätt.
Observera att för varje element i uppsättning A finns det en
enda relaterat element med honom i uppsättning B. Nu kan vi trots allt tänka när en relation mellan två uppsättningar inte kommer att vara en funktion? Tja, när ett element i uppsättningen A är relaterat till två distinkta element i B, eller när det finns element i uppsättningen A som inte är relaterade till elementen i B. Se:
Generellt sett kan vi skriva en funktion algebraiskt så här:
f: A → B
x → y
Observera att funktionen tar element från uppsättning A (representerad av x) och tar dem till element av B (representerad av y). Vi kan också säga att elementen i uppsättning B ges i termer av elementen i uppsättning A, så att vi kan representera y genom:
y = f(x)
Den lyder: (y är lika med f av x)
Domän, samdomän och bild av en roll
När vi har en roll f, de uppsättningar som är relaterade får speciella namn. Så överväga en funktion f som tar element från uppsättning A till element från uppsättning B:
f: A → B
Uppsättningen A, från vilken relationerna avgår, kallas domän av funktionen, och den uppsättning som tar emot "pilarna" i detta förhållande kallas motdomän. Vi betecknar dessa uppsättningar enligt följande:
Df = A → Domän för f
CDf = B → Motdomän av f
Delmängden av motdomänen för en funktion som bildas av element som relaterar till element i uppsättningen kallas Bild av funktionen och betecknas med:
jag ärf → Bild av f
- Exempel
Tänk på funktionen f: A → B representerad i diagrammet nedan och bestäm domänen, motdomänen och bilden.
Som sagt är uppsättningen A = {1, 2, 3, 4} domänen för funktionen f, medan uppsättningen B = {0, 2, 3, –1} är motdomänen för samma funktion. Lägg märke till att uppsättningen bildad av element som tar emot pilen (i orange) bildad av elementen {0, 2, –1} är en delmängd av motdomän B, denna uppsättning är bilden av funktionen f, Således:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
jag ärf = {0, 2, –1}
Vi säger att 0 är elementbild 1 av domänen, liksom 2 det är bilden av elementen 2 och 3 av domänen och –1 är elementbild 4 av domänen. Läs mer om dessa tre begrepp: Ddomän, samdomän och bild.
Surjektiv funktion
En funktion f: A → B kommer att vara surjectiv eller surjective om, och endast om, bilduppsättningen sammanfaller med motsatsen, det vill säga om alla delar av motsättningen är bilder.
Vi säger då att en funktion är förväntad när alla element i motdomänen tar emot pilar. Om du vill gå djupare in i denna typ av funktion, besök vår text: Overjet-funktion.
Injektiv funktion
En funktion f: A → B kommer att vara injektiva eller injektiva om, och endast om, distinkta delar av domänen har distinkta bilder i motdomänen, det vill säga liknande bilder genereras av lika delar av domänen.
Observera att villkoret är att olika delar av domänen relaterar till olika element i motdomänen, det finns inga problem med att kvarstå element i motdomänen. För att bättre förstå detta koncept kan du läsa texten: Injektorfunktion.
Bijector-funktion
En funktion f: A → B kommer att vara bindande om, och bara om det är injektor och surjector samtidigt, det vill säga distinkta delar av domänen har distinkta bilder, och bilden sammanfaller med motdomänen.
- Exempel
I båda fallen, motivera om funktionen f (x) = x2 det är injicerande, surjectivt eller bijective.
De) f: ℝ+ → ℝ
Observera att funktionens domän är alla positiva realer och motdomänen är alla reella tal. Vi vet att funktionen f ges av f (x) = x2, föreställ dig nu att alla positiva verkliga siffror är hög i kvadrat kommer alla bilder också att vara positiva. Så vi kan dra slutsatsen att funktionen är injicerande och inte förväntad, eftersom negativa reella tal inte kommer att få pilar.
Det injiceras, eftersom varje element i domänen (ℝ+) avser endast ett element i motdomänen (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funktionen har i detta fall domänen som alla realer och motdomänen som positiva realer. Vi vet att alla verkliga tal i kvadrat är positiva, så alla delar av motdomänen har fått pilar, så funktionen är förväntad. Det kommer inte att injiceras eftersom domänelement relaterar till två motdomänelement, till exempel:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
I det här exemplet har funktionen domän och motdomän som positiva reella tal, så funktionen är bijector, eftersom varje positivt reellt tal avser en singel riktigt nummer positivt för motdomänen, i det här fallet kvadraten för numret. Dessutom fick alla motdomännummer pilar.
kompositfunktion
DE kompositfunktion är associerad med genvägsidé. Tänk på tre icke-tomma uppsättningar A, B och C. Tänk också på två funktioner f och g, där funktion f tar element x från uppsättning A till element y = f (x) från uppsättning B, och funktion g tar element y = f (x) till element z från uppsättning C.
Kompositfunktionen får detta namn eftersom det är en applikation som tar element från uppsättning A direkt till element från uppsättning C, utan att gå igenom uppsättning B, genom sammansättningen av funktionerna f och g. Se:
Funktionen betecknad med (f o g) tar elementen från uppsättning A direkt till uppsättning C. Det kallas en sammansatt funktion.
- Exempel
Tänk på funktionen f (x) = x2 och funktionen g (x) = x + 1. Hitta de sammansatta funktionerna (f o g) (x) och (g o f) (x).
Funktionen f o g ges av funktionen g applicerad på f, det vill säga:
(f o g) (x) = f (g (x))
För att bestämma denna sammansatta funktion måste vi ta hänsyn till funktionen f, och i stället för variabeln x måste vi skriva funktionen g. Se:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
På samma sätt, för att bestämma kompositfunktionen (g o f) (x), måste vi tillämpa funktionen f i rollen g, det vill säga betrakta funktionen g och skriv funktionen f i stället för variabeln. Se:
(x + 1)
x2 + 1
Därför är kompositfunktionen (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Jämn funktion
Tänk på en funktion f: A → ℝ, där A är en delmängd av de icke-tomma realerna. En funktion f är till och med endast för alla riktiga x.
Exempel
Tänk på funktionen f: ℝ → ℝ, ges av f (x) = x2.
Observera att för alla verkliga x-värden, om det är kvadrat, är resultatet alltid positivt, det vill säga:
f (x) = x2
och
f (–x) = (–x)2 = x2
Så f (x) = f (–x) för ett verkligt x-värde, så funktionen f det är par.
Läs också:Effektegenskapers - vad är de och hur på använda sig avluft?
unik funktion
Tänk på en funktion f: A → ℝ, där A är en delmängd av de icke-tomma realerna. En funktion f är endast udda för alla riktiga x.
- Exempel
Tänk på funktionen f: ℝ → ℝ, ges av f (x) = x3.
Se att för vilket värde som helst på x kan vi skriva det (–x)3 = -x3. Kolla in några exempel:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Så vi kan säga det:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Så för alla verkliga x f (–x) = –f (x), och så funktionen f (x) = x3 är unik.
ökande funktion
En funktion f é växande med ett intervall om och bara om, när domänelementen växer, deras bilder också växer. Se:
Observera att x1 > x2 och detsamma händer med bilden så att vi kan skapa ett algebraiskt tillstånd för funktionen f vara växande.
Fallande funktion
En funktion f é minskar med ett intervall om och endast om, när domänelementen växer, deras bilder minskar. Se:
Se att i funktionsdomänen har vi det x1 > x2dock inträffar detta inte i funktionsbilden, där f (x1)
konstant funktion
Som namnet säger, a funktionen är konstant när, för något värde domän, är bildens värde alltid detsamma.
relaterad funktion
DE affinefunktion eller polynom av första graden skrivs i form:
f (x) = ax + b
Där a och b är reella tal, är a noll och din graf är en linje. Funktionen har verklig domän och även verklig motdomän.
kvadratisk funktion
DE kvadratisk funktion eller polynomfunktion av andra graden ges av a polynom av klass två, Således:
f (x) = ax2 + bx + c
Där a, b och c är reella tal med ett icke-noll, och din graf är a liknelse. Rollen har också verklig domän och motdomän.
modulär funktion
DE modulär funktion med variabel x finner-om inuti modulen och algebraiskt uttrycks det av:
f (x) = | x |
Funktionen har också en verklig domän och en motdomän, det vill säga vi kan beräkna det absoluta värdet på vilket reellt tal som helst.
exponentiell funktion
DE exponentiell funktionvisar variabeln x i exponenten. Den har också verklig domän och verklig motdomän och beskrivs algebraiskt av:
f (x) = ax
Där a är ett reellt tal större än noll.
logaritmisk funktion
DE logaritmisk funktion har variabel i logaritm och domänen bildas av reella tal större än noll.
Trigonometriska funktioner
På trigonometriska funktioner ha variabel x som involverar trigonometriska förhållanden, de viktigaste är:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
rotfunktion
Rotfunktionen kännetecknas av att ha variabel inuti roten, med detta, om indexet för roten är jämnt, blir domänen för funktionen bara de positiva reella siffrorna.
av Robson Luiz
Mattelärare
