Prismaområde: hur man beräknar, exempel, övningar

Prismer är tredimensionella figurer bildade av två kongruenta och parallella baserbaserna bildas i sin tur av konvexa polygoner. De andra ansikten som benämns sidoytor bildas av parallellogram. För att bestämma prismans område är det nödvändigt att utföra dess planera och beräkna sedan arean för den platta figuren.

Läs också: Skillnader mellan platta och rumsliga figurer

Planerar ett prisma

Idén med planering är att förvandla en tredimensionell figur till en tvådimensionell figur. I praktiken skulle det motsvara att skära över prismakanterna. Nedan följer ett exempel på att planera ett triangulärt prisma.

Samma process kan antas för varje prismaObservera dock att när vi ökar antalet sidor av baspolygonerna blir uppgiften allt svårare. Av denna anledning kommer vi att göra generaliseringar baserat på planeringen av detta polygon.

Beräkning av lateral area

Observera bilden av det triangulära prismaet, vi har att parallellogramen ABFC, ABFD och ACDE är sidoytor. Observera att sidans ytor på ett prisma kommer alltid att vara parallellogram

oavsett antalet sidor av baspolygonerna händer detta eftersom de är parallella och kongruenta.

Tittar vi på den triangulära prisma-figuren ser vi också att vi har tre sidoytor. Detta beror på antalet sidor av baspolygonen, det vill säga om prismabaserna är fyrsidiga, vi kommer att ha fyra sidoytor, om baserna är en femkant, kommer vi att ha fem sidoytor, och så vidare. Således: antalet sidor av baspolygonen påverkar antalet prismas sidoytor.

Därför sidoområde (A_L) av vilket prisma som helst ges av arean av en sidoyta multiplicerad med antalet sidoytor, det vill säga arealet av parallellogrammet multiplicerat med antalet sidor av ansiktet.

DE_L = (bas · höjd) · antal sidor på ansiktet

• Exempel

Beräkna sidoyta för ett vanligt sexkantigt prisma med en baskant lika med 3 cm och en höjd lika med 11 cm.

Prismaet i fråga representeras av:

Sidorean beräknas sedan av rektangelns område gånger antalet sidor av baspolygonen, som är 6, så:

DE_L = (bas · höjd) · antal sidor på ansiktet

DE_L = (3 · 11) · 6

DE_L = 198 cm²

Beräkning av basarea

Prismer kan ha olika former.

DE basarea (DE_B) av ett prisma beror på polygonen som komponerar den. Som i ett prisma har vi två parallella och kongruenta ansikten, basarean ges av summan av områdena för de parallella polygonerna, det vill säga två gånger ytan för polygonen.

DE_B = 2 · polygonområde

Läs också:Platta figurområden

• Exempel

Beräkna basarean för ett vanligt sexkantigt prisma med baskanten lika med 3 cm och höjden lika med 11 cm.

Basen på detta prisma är en vanlig sexkant, och den här, sett ovanifrån, ser ut som:

Observera att trianglar bildade inuti hexagonen är liksidiga, så hexagonens yta ges med sex gånger liksidigt triangelområde.

Lägg dock märke till att vi i prisma har två hexagoner, så basarean är dubbelt så stor som arean av polygonen.

Beräkning av den totala ytan

DE total yta (A_T) av ett prisma ges av summan av sidoområdet (DE_L) med basarean (DE_B).

DE_T = A_L + A_B

• Exempel

Beräkna den totala ytan för ett vanligt sexkantigt prisma med baskanten lika med 3 cm och höjden lika med 11 cm.

Från de tidigare exemplen har vi att A_L = 198 cm² och den_B = 27√3 cm². Därför ges den totala ytan av:

lösta övningar

fråga 1 - Ett skjul är format som ett prisma som är baserat på en trapets, som visas i figuren.

Du vill måla detta skjul och det är känt att färgen är 20 reais per kvadratmeter. Hur mycket kostar det att måla detta skjul? (Givet: √2 = 1,4)

Lösning

Låt oss inledningsvis bestämma skjulets yta. Dess bas är en trapets, så:

Därför är basarean:

DE_B = 2 · A_trapets

DE_B = 2 ·10

DE_B = 20 m²

Sidorean i rött är en rektangel, och vi har botten, så detta område är:

DE_V = 2 · 4· 14

DE_V= 112 m²

Området i blått är också en rektangel, men vi har inte dess bas. Använda Pythagoras sats i triangeln som bildas av trapesen har vi:

x² = 2² + 2²

x² = 8

x = 2√2

Så rektangelområdet i blått är:

DE_DE = 2 ·14·2√2

DE_DE = 54√2 m²

Därför är prisets laterala område lika med:

DE_L = 112 + 54√2

DE_L = 112 + 75,6

DE_L = 187,6 m²

Och så är det totala området för detta prisma:

DE_T= 20 + 187,6

DE_T= 207,6 m²

Eftersom priset på färg är 20 reais per kvadratmeter, är beloppet för att måla skjulet:

20 207,6 = 4 152 reais

Svar: Det belopp som används för att måla skjulet är 4 152,00 R $

av Robson Luiz
Mattelärare

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm