Steg-för-steg-konstruktion av grafen för andragradsfunktionen

I grundskolan, funktioner är matematiska formler som associerar varje nummer i en numerisk uppsättning (domänen) med ett enda nummer som tillhör en annan uppsättning (motdomänen). När denna formel är a andra grads ekvation, vi har en gymnasiefunktion.

Funktioner kan representeras av geometriska figurer vars definitioner sammanfaller med deras matematiska formler. Detta är fallet med den raka linjen, som representerar funktioner i första graden, och liknelse, som representerar andra gradens funktioner. Dessa geometriska figurer kallas grafik.

Den centrala idén om funktionsrepresentation genom en graf

För diagram en funktion, är det nödvändigt att utvärdera vilket element i motdomänen som är relaterat till varje element i domänen och markera dem, en efter en, i ett kartesiskt plan. När alla dessa poäng görs blir resultatet bara en graf för en funktion.

Det är anmärkningsvärt att gymnasiefunktioner, definieras vanligtvis i en domän som är lika med hela uppsättningen av reella tal. Denna uppsättning är oändlig och därför är det omöjligt att markera alla dess punkter på ett kartesiskt plan. Alternativet är alltså att skissa en graf som delvis kan representera den utvärderade funktionen.

Först och främst, kom ihåg att avancerade funktioner har följande form:

y = ax² + bx + c

Därför presenterar vi fem steg som gör det möjligt att bygga en andra graders funktionsgraf, precis som de som krävs i gymnasiet.

Steg 1 - Övergripande jobbutvärdering

Det finns några indikatorer som hjälper dig att ta reda på om rätt väg tas när du bygger gymnasiefunktionsdiagram.

I - Koefficienten "a" för a gymnasiefunktion anger dess konkavitet, det vill säga om a> 0 kommer parabolen att vara uppåt och ha en minsta punkt. Om a <0 kommer parabolen att vara nere och ha en maximal punkt.

II) Den första punkten A i diagram över en liknelse det kan enkelt erhållas bara genom att titta på värdet på koefficienten "c". Således är A = (0, c). Detta händer när x = 0. Kolla på:

y = ax² + bx + c

y = a · 0² + b · 0 + c

y = c

Steg 2 - Hitta vertexkoordinaterna

toppen av en liknelse är dess maximala (om en <0) eller minsta (om en> 0) punkt. Det kan hittas genom att ersätta värdena för koefficienterna "a", "b" och "c" i formlerna:

x_v = - B
2: a

y_v = –∆
4: e

Sålunda ges toppunktet V med de numeriska värdena på x_v och y_v och det kan skrivas så här: V = (x_vyy_v).

Steg 3 - Slumpmässiga punkter i diagrammet

Det är alltid bra att ange några slumpmässiga punkter vars värden tilldelade variabeln x är större och mindre än x_v. Detta ger dig poäng före och efter toppunkten och gör det lättare att rita grafen.

Steg 4 - Bestäm rötterna om möjligt

När de finns kan rötterna (och bör) inkluderas i designen av graf över en funktion av andra graden. För att hitta dem, ställ in y = 0 för att få en kvadratisk ekvation som kan lösas med Bhaskaras formel. kom ihåg det lösa en kvadratisk ekvation är densamma som att hitta sina rötter.

Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)

DE Bhaskara formel det beror på diskriminantens formel. Är de:

x = - b ± √∆
2: a

∆ = b² - 4ac

Steg 5 - Markera alla poäng som erhållits på det kartesiska planet och koppla ihop dem för att bygga en parabel

Kom ihåg att det kartesiska planet består av två vinkelräta talrader. Detta innebär att dessa linjer, förutom att innehålla alla verkliga tal, bildar en 90 ° vinkel.

Exempel på kartesisk plan och exempel på en liknelse.

Exempel

Plotta andra gradens funktion y = 2x² - 6x.

Lösning: Observera att koefficienterna för denna parabel är a = 2, b = - 6 och c = 0. På detta sätt av steg 1, Vi kan säga så:

1 - Parabolen kommer att vara uppe, som 2 = a> 0.

2 - En av punkterna i denna liknelse, representerad av bokstaven A, ges av koefficienten c. Snart, A = (0,0).

steg 2, observerar vi att toppunkten för denna parabel är:

x_v = - B
2: a

x_v = – (– 6)
2·2

x_v = 6
4

x_v = 1,5

y_v = – ∆
4: e

y_v = – (B² - 4 · a · c)
4: e

y_v = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

y_v = – (36)
8

y_v = – 36
8

y_v = – 4,5

Därför är toppkoordinaterna: V = (1,5, - 4,5)

Använda steg 3väljer vi bara två värden för variabeln x, ett större och ett mindre än x_v.

Om x = 1,

y = 2x² - 6x

y = 2 · 1² – 6·1

y = 2 · 1 - 6

y = 2 - 6

y = - 4

Om x = 2,

y = 2x² - 6x

y = 2,2² – 6·2

y = 2 · 4 - 12

y = 8 - 12

y = - 4

Därför är de två poäng som erhållits B = (1, - 4) och C = (2, - 4)

Päls steg 4, vilket inte behöver göras om funktionen inte har några rötter, får vi följande resultat:

∆ = b² - 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = - b ± √∆
2: a

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x '= 12
4

x '= 3

x '' = 6 – 6
4

x '' = 0

Därför är poängen som erhållits genom rötterna, med tanke på att för att få x = 0 och x = 3, var det nödvändigt att ställa in y = 0: A = (0, 0) och D = (3, 0).

Med det får vi sex poäng för att rita grafen för funktionen y = 2x² - 6x. Nu bara uppfylla steg 5 för att definitivt bygga den.

Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik