DE Andra gradens ekvation kännetecknas för en polynom av grad 2, det vill säga ett polynom av typ ax2+ bx + c, där De, B och ç dom är riktiga nummer. När vi löser en ekvation av grad 2 är vi intresserade av att hitta värden för det okända. x det gör att värdet på uttrycket är lika med 0, som kallas rötter, det vill säga ax2 + bx + c = 0.
Läs också: Skillnader mellan funktion och ekvation
Typer av andra gradens ekvationer
Andra gradens ekvation kan vara representerad av ax² + bx + c = 0, där koefficienterna De, B och ç är verkliga siffror, med De ≠ 0.
→ Exempel
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 och c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 och c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 och c = -1
Andra gradens ekvation klassificeras som komplett när alla koefficienter skiljer sig från 0, det vill säga De ≠ 0, B ≠ 0 och ç ≠ 0.
Andra gradens ekvation klassificeras som Ofullständig när värdet på koefficienterna B eller ç är lika med 0, det vill säga b = 0 eller c = 0.
→ Exempel
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 och c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 och c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 och c = 0
Se upp: koefficientvärdet De det är aldrig lika med 0, om det händer är ekvationen inte längre 2: a graden.
Hur löser jag andra gradens ekvationer?
Lösningen av en 2: a grads ekvation inträffar när rötter finns, det vill säga de värden som tilldelats x. Dessa värden av x måste göra jämlikheten sann, det vill säga genom att ersätta värdet av x i uttrycket måste resultatet vara lika med 0.
→ Exempel
Med tanke på x-ekvationen2 - 1 = 0 har vi att x ’= 1 och x’ ’= - 1 är lösningar av ekvationen, för att ersätta dessa värden i uttrycket har vi en sann jämlikhet. Se:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 och (–1)2 – 1 = 0
För att hitta lösningen på en ekvation, är det nödvändigt att analysera om ekvationen är fullständig och ofullständig och välja vilken metod som ska användas.
Lösningsmetod för ekvationer av typen ax²+ c = 0
Metoden för att bestämma lösningen av ofullständiga ekvationer som har B=0består i att isolera det okända x, Således:
→ Exempel
Hitta rötterna till ekvationen 3x2 – 27 = 0.
Om du vill veta mer om den här metoden, gå till: 2: e graden ofullständig ekvation med nollkoefficient b.
Lösningsmetod för ekvationer av typen yxa2 + bx = 0
Metoden för att bestämma möjliga lösningar av en ekvation med ç = 0, består av att använda bevis factoring. Se:
yxa2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
När man tittar på den senaste jämställdheten märks det att det finns en multiplikation och att för att resultatet ska vara 0 är det nödvändigt att minst en av faktorerna är lika med 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 eller ax + b = 0
Således ges lösningen på ekvationen av:
→ Exempel
Bestäm lösningen av ekvationen 5x2 - 45x = 0
Om du vill veta mer om den här metoden, gå till: ofullständig 2: a grads ekvation med nollkoefficient c.
Lösningsmetod för kompletta ekvationer
Metoden känd som Bhaskara-metoden eller Bhaskara formel påpekar att rötterna till en 2: a graders ekvation av typ ax2 + bx + c = 0 ges av följande förhållande:
→ Exempel
Bestäm lösningen av ekvationen x2 - x - 12 = 0.
Observera att koefficienterna i ekvationen är: a = 1; B= - 1 och ç = – 12. Genom att ersätta dessa värden i Bhaskaras formel har vi:
Deltaet (Δ) är uppkallat efter särskiljande och märker att den är inne i en roten ur och, som vi vet, med hänsyn till de verkliga siffrorna är det inte möjligt att extrahera kvadratroten av ett negativt tal.
Att känna till diskriminantens värde kan vi göra några uttalanden om lösningen av andra gradens ekvation:
→ positiv diskriminant (Δ> 0): två lösningar på ekvationen;
→ diskriminant lika med noll (Δ = 0): ekvationens lösningar upprepas;
→ negativ diskriminant (Δ <0): erkänner inte verklig lösning.
Andra gradsekvationssystem
När vi samtidigt överväger två eller flera ekvationer har vi a ekvationssystem. Lösningen av ett 2-variabelt system är uppsättning beställda par som samtidigt uppfyller alla inblandade ekvationer.
→ Exempel
Tänk på systemet:
Med värdena: x ’= 2, x’ ’= - 2 och y’ = 2, y ’’ = - 2 kan vi montera ordnade par som uppfyller systemets ekvationer samtidigt. Se: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Kom ihåg att ett beställt par är skrivet av formuläret (x, y).
Metoderna för att hitta lösningen på ett ekvationssystem liknar det för linjära system.
→ Exempel
Tänk på systemet:
Från ekvationen x - y = 0, låt oss isolera det okända x, Således:
x - y = 0
x = y
Nu måste vi ersätta det isolerade värdet i den andra ekvationen, så här:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Med Bhaskaras metod måste vi:
Eftersom x = y kommer vi att ha x ’= y’ och x ’’ = y ’’. Dvs:
x ’= 4
x ’’ = -3
Således är de beställda paren lösningar på systemet (4, 4) och (- 3, - 3).
Läs mer: System med 1: a och 2: a graders ekvationer
lösta övningar
fråga 1 - (ESPM -SP) Lösningarna för ekvationen nedan är två siffror
a) kusiner.
b) positivt.
c) negativ.
d) par.
e) udda.
Lösning
Vi vet att nämnarna för en bråk inte kan vara lika med noll, så x ≠ 1 och x ≠ 3. Och eftersom vi har lika bråk, kan vi korsföröka oss och få:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Genom att dela båda sidor av ekvationen med 2 har vi:
x2 - 4x - 5 = 0
Med Bhaskaras formel följer följande:
Observera att rötterna till ekvationen är udda tal.
Alternativ e.
fråga 2 - (UFPI) En fjäderfäuppfödare fann att efter att ha placerat (n + 2) fåglar i var och en av de tillgängliga voljärerna, skulle bara en fågel vara kvar. Det totala antalet fåglar, för något naturligt värde på n, är alltid
a) ett jämnt antal.
b) ett udda tal.
c) en perfekt fyrkant.
d) ett tal delbart med 3.
e) ett primtal.
Lösning
Antalet fåglar kan hittas genom att multiplicera antalet voljärer med antalet fåglar som placeras i var och en. av dem, genom uttalandet av övningen efter att ha gjort denna process finns det fortfarande en fågel kvar, vi kan skriva allt detta i det följande sätt:
n · (n + 2) +1
Genom att utföra distributionen får vi:
Nej2 + 2n +1
Och med beaktande av detta polynom följer att:
(n + 1)2
Således är det totala antalet fåglar alltid ett perfekt kvadrat för alla naturliga nummer n.
Alternativ C
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm