Överväga polynomekvation nedan där alla koefficienter DeNejär heltal:
DeNejxNej + denn-1xn-1 + denn-2xn-2 +... + den2x2 + den1x + a0 = 0
O Rationell rotteori garanterar att om denna ekvation medger det rationella numret P/Vad som rot (med P
, Vad 
och mdc (p, q) = 1), då De0 är delbart med P och DeNej är delbart med Vad.
Kommentarer:
1º) Den rationella röstsatsen garanterar inte att polynomekvationen har rötter, men om de existerar tillåter satsen oss att identifiera alla rötter av ekvationen;
2º) om DeNej= 1 och de andra koefficienterna är alla heltal, ekvationen har bara heltalrötter.
3°) om q = 1 och det finns rationella rötter, dessa är hela och delar av De0.
Tillämpning av Rational Root Theorem:
Låt oss använda satsen för att hitta alla rötterna till polynomekvationen 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Låt oss först identifiera de möjliga rationella rötterna för denna ekvation, det vill säga formens rötter P/Vad. Enligt satsen, De0 är delbart med P; på detta sätt, hur De0 = 12, sedan de möjliga värdena för
P är {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogt måste vi DeNej är delbart med Vad och DeNej = 2, sedan Vad kan ha följande värden: {± 1, ± 2}. Därför delar vi värdena på P per Vad, vi får möjliga värden P/Vad rötterna till ekvationen: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.För att bekräfta att de värden vi hittade verkligen är roten till polynomekvationen, låt oss ersätta varje värde i stället för x av ekvationen. Genom algebraisk kalkyl, om polynomet resulterar i noll-, så det substituerade talet är faktiskt roten till ekvationen.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
För x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
För x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
För x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
För x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
För x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
För x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
För x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
För x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
För x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
För x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
För x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
För x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
För x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
För x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
För x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
För x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Därför rötterna till polynomekvationen 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 dom är {– 3, – 2, ½, 2}. Genom sats för polynomnedbrytning, vi kunde skriva denna ekvation som (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Av Amanda Gonçalves
Examen i matematik
Vill du hänvisa till texten i en skola eller ett akademiskt arbete? Se:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Rationell rotteori"; Brasilien skola. Tillgänglig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Åtkomst den 28 juni 2021.
