DE Ellips är en platt figur som klassificeras som en konisk, för att hon kan erhållas från avsnittet av en plan i en kon. Att hitta en platt figur med ellipsform är ganska vanligt i vardagen. Det har studerats allmänt för att förklara planeternas rörelse runt solen, eftersom banorna hos dessa stjärnor är ellipser.
DE analytisk geometri är området matematik som försöker beskriva algebraiskt geometriska former, inklusive, ellipsen studeras på djupet i analytisk geometri, vara möjligt att beskriva det genom en ekvation som tar hänsyn till dess element. Ellipsens huvudelement är:
huvudaxel
mindre axel
brännvidd
foci F1 och F2
Vi definierar ellipsen som en uppsättning punkter där summan av avståndet mellan dessa punkter till fokus F1 och att fokusera F2 det är alltid konstant.
Läs också: Vad är skillnaderna mellan platta och rumsliga figurer?
Vad är en ellips?
Vi känner som en ellips platt figur bildad av sektionen mellan planet och kon, på följande sätt:
Att bygga ellipsen är det
behöver veta din två fokus, F1 och F2, och även längden på huvudaxeln, som är linjen som förbinder ändarna av ellipsen, i bilden nedan, representerad av A1 DE2.Längden på huvudaxeln är lika med 2a, så ellipsen är kurvan som bildas av alla punkter PNej där summan av avståndet från punkten till första fokus (dPNejF1) med avståndet från punkten till det andra fokuset (dPNejF2) är alltid konstant och lika med 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1DE2 = 2: a
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Ellipselement
För att fullt ut förstå bildandet av ellipsen är det nödvändigt att känna till var och en av dess element. De är fokuserna, centrumet, huvudaxeln och den mindre axeln. Baserat på dem är det möjligt att spåra viktiga relationer i ellipsen.
Ellipsens centrum representeras av punkten O.
Redan F-poängen1 och F2 representerar ellipsfoci.
punkterna A1 och den2 är ändarna på ellipsens horisontella axel och punkterna B1 och B2 är ändar på dess vertikala axel.
Avståndet mellan B.1 och B2 är lika med 2b (längden på ellipsen på den mindre axeln).
Avståndet mellan A.1 och den2 är lika med 2a (ellipsens längd på huvudaxeln).
Brännvidden mellan F1 och F2 är lika med 2c.
Observation: Det är viktigt att inse att F1B1 har en längd som är lika med hälften av den horisontella axeln, dvs dF1B1 = a. Således är det också möjligt att uppfatta ett viktigt Pythagoras förhållande vid analys av triangel A1OB1. Observera att han är en rätt triangel. Därför kan vi tillämpa Pythagoras sats.
a² = b² + c²
Det finns en annan möjlighet för ellipsen, det vill säga när den längsta axeln är den vertikala axeln. I det här fallet förblir elementen desamma.
I det här fallet kan vi också tillämpa Pythagoras sats och få följande:
b² = a² + c²
Läs också: Vilka är elementen i en polygon?
Ellipsekvation
Studien av ellipsen görs analytiskt i Kartesiskt plan. Analytisk geometri syftar till att genom ekvationer beskriva figurerna i plangeometri. Det är således möjligt att beskriva figuren genom den så kallade ellipsekvationen.
Först kommer vi att göra exempel på en ellips vars fokus är antingen på x-axeln eller på y-axeln, det vill säga, ellipsens ursprung sammanfaller med ursprunget till det kartesiska planet.
I det här fallet finns det två möjligheter, när huvudaxeln är den vertikala axeln och när huvudaxeln är den horisontella axeln:
Observation: Foci finns alltid i den längsta axeln, så om a> b finns foci i den horisontella axeln, och om b> a finns de i den vertikala axeln.
Ellipsens centrum ligger inte alltid vid det kartesiska planet, vilket inte hindrar utvecklingen och anpassningen av ellipsekvationen för detta fall. När ellipsen är förskjuten från ursprunget O (x0, y0), kan dess ekvation beskrivas av:
Läs också: Vad är den reducerade ekvationen för omkretsen?
Ellips excentricitet
Vi känner till som excentricitetanledning mellan längd c och halva längden på ellipsens längsta axel. Förutsatt att den längsta axeln är horisontell beräknas excentriciteten av:
Om ellipsen är på den vertikala axeln beräknas excentriciteten av:
DE excentricitet berättar hur platt ellipsen ärju större excentricitetsvärdet är, ju närmare en cirkel kommer ellipsen att vara. Eftersom huvudaxeln alltid har en längd som är större än brännvidden, så följaktligen c Eftersom ellipsen har en rundad form, för att beräkna dess yta, använder vi konstanten π och också måttet på halva den horisontella längden och halva den vertikala längden, så Vi måste: A = abπ A: ellipslängd Exempel: Beräkna ytan på en ellips, med fokuserna på den horisontella axeln, vars längsta axel mäter 50 cm och den minsta 36 cm. Eftersom huvudaxeln är horisontell, så är fokuserna i den. Därför måste vi: 2: a = 50 a = 50/2 a = 25 Och på den vertikala axeln måste vi: 2b = 36 b = 36/2 b = 18 Så ellipsens område ges av: A = abπ A = 25 · 18π A = 450π cm² Fråga 1 - Vid analys av ellipsen nedan är alternativet som innehåller dess brännvidd: A) 5 Upplösning Alternativ E. Brännvidden är lika med 2c, och dessutom är a = 8 och b = 6. Eftersom brännpunkterna finns på x-axeln måste vi: Eftersom brännvidden är lika med 2c är 2c = 8√3. Fråga 2 - (IFB) Med tanke på en ellips med centrum vid ursprunget, fokuserar på en av koordinataxlarna och passerar genom punkterna (5, 0) och (0, 13), bestäm foci för ellipsen. a) (13, 0) och (-13, 0) Upplösning Alternativ D Observera att den passerar genom punkten (0, 13), vilket indikerar att b = 13, och också att den passerar genom punkten (5.0) a = 5. Som b> a måste vi: b² = a² + c² Eftersom b är större är fokus då på den vertikala axeln, dvs. (0, 12) och (0, -12). Av Raul Rodrigues de Oliveiraellipsområde
a: halva längden på den horisontella axeln
b: halva längden på den vertikala axeln
lösta övningar
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
b) (0, 13) och (0, -13)
c) (12, 0) och (-12, 0)
d) (0, 12) och (0, -12)
e) (5, 0) och (-5, 0)
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Mattelärare
