Numeriska uppsättningar: vad de är och egenskaper

protection click fraud

Studien om numeriska uppsättningar utgör ett av huvudområdena i matematik, eftersom de är mycket viktiga för den teoretiska utvecklingen av området och har flera praktiska tillämpningar. Numeriska uppsättningar innefattar att studera:

naturliga tal;
heltal;
rationella nummer;
irrationella siffror;
riktiga nummer; och
komplexa tal.

Läs mer: Primtal - siffror som bara har 1 och själva som delare

Uppsättning av naturliga siffror

Utvecklingen av de första civilisationerna medförde förbättringen av jordbruket och handeln och följaktligen med siffror för att representera kvantiteter. Den första uppsättningen kom naturligt, därav namnet. Den naturliga namngivna uppsättningen används för att representera kvantiteter, den betecknas med symbol ℕ och är skriven i sekvensform. Se:

O uppsättning siffror naturaär é oändligt och stängt för drift av tillägg och multiplikation, det vill säga, när vi lägger till eller multiplicerar två naturliga tal, är svaret fortfarande naturligt. Men för subtraktion och division, satsen är inte stängd. Se:

instagram story viewer

5 – 6 = –1

3 ÷ 2 = 0,5

Observera att siffrorna –1 och 0,5 de tillhör inte den naturliga uppsättningen, och detta är rättfärdigandet för skapandet och studien av nya siffror.

Om vi placerar en asterisk (*) i symbolen för den naturliga uppsättningen måste vi ta bort siffran noll från listan, se:

hela siffror

Hela nummeruppsättningen kom med måste utföra driften av subtraktion inga begränsningar. Som vi har sett, hörs inte svaret till gruppen naturliga när ett mindre antal subtraheras från ett större.

Uppsättningen av heltal representeras också av en oändlig numerisk sekvens och betecknas med symbol ℤ.

Som i uppsättningen naturliga tal, genom att placera en asterisk i symbolen ℤ, tas elementet noll bort från uppsättningen, så här:

Symbolen (-) som medföljer ett tal indikerar att det är symmetriskt, så det symmetriska talet 4 är numret –4. Observera också att uppsättningen naturliga tal ingår i uppsättningen heltal, det vill säga uppsättningen naturliga tal är en delmängd av uppsättningen heltal.

ℕ ⸦ ℤ

Läs också: Operationer med heltal - vad är de och hur man beräknar?

uppsättning rationella siffror

O uppsättning rationella siffror é representeras av symbolen ℚ och representeras inte av en numerisk sekvens. Denna uppsättning består av alla siffror som kan representeras som en bråkdel. Vi representerar dess element enligt följande:

Vi vet att varje heltal kan representeras av a fraktion, det vill säga uppsättningen heltal ingår i den för rationella tal, så uppsättningen heltal är en delmängd av rationella.

ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ

Siffror som har oändlig representation, till exempel periodiska tionder, har också representation i form av en bråkdel, så de är också rationella.

Läs också: Operationer med bråk - steg för steg hur man löser dem

Uppsättning av irrationella siffror

Som vi har sett är ett tal rationellt om det kan skrivas som en bråkdel. Det har också sagts att oändliga och periodiska tal är rationella, men det finns vissa siffror som kan inte skrivas i form av en bråkdel och som därför inte tillhör uppsättningen rationella tal.

Dessa icke-rationella nummer kallas irrationell och dess huvudsakliga egenskaper är oändlighet av decimaldelen och icke-frekvens, det vill säga inget nummer i decimaldelen upprepas. Se några exempel på irrationella siffror.

Exempel 1

Kvadratrötterna av tal som inte är perfekta rutor.

Exempel 2

Konstanter som kommer från speciella skäl som guldnummer, Euler-nummer eller Pi.

Uppsättning av verkliga siffror

O uppsättning av reella tal representeras av symbolen ℝ och bildas av enhetav uppsättningen rationella nummer med uppsättningen irrationella nummer. Kom ihåg att uppsättningen rationella är föreningen av naturliga och heltalssatser.

När vi ordnar de verkliga siffrorna på en rad har vi att siffran noll är linjens ursprung, till höger om noll kommer de positiva siffrorna och till vänster de negativa siffrorna.

Eftersom denna axel är verklig kan vi säga att mellan två siffror finns oändliga tal och också att denna axel är oändlig både i positiv riktning när i negativ riktning.

Uppsättning av komplexa nummer

O komplex nummeruppsättning det är sista och den uppstod av samma anledning som uppsättningen heltal, det vill säga det är en operation vars utveckling endast med uppsättningen real inte är möjlig.

Lös följande ekvation, se att den inte har någon lösning, bara känner till de verkliga siffrorna.

x² + 1 = 0

x² = –1

Observera att vi måste hitta ett nummer som när upphöjadO kvadrat, resulterar i ett negativt tal. Vi vet det valfritt antal i kvadrat är alltid positivtdärför har denna beräkning ingen verklig lösning.

Således skapades de komplexa siffrorna, där vi har en imaginärt nummer betecknas med i, som har följande värde:

Så, inse att ekvation som tidigare inte hade någon lösning nu. Kolla upp:

Läs mer: Egenskaper som involverar komplexa nummer

faktiska intervall

I vissa fall kommer vi inte att använda varje verklig axel, det vill säga vi kommer att använda delar av den som kommer att kallas bryter. Dessa intervall är delmängder av uppsättningen av reella tal. Därefter kommer vi att skapa några noteringar för dessa delmängder.

Stängt intervall - utan att inkludera ytterligheter

Ett intervall stängs när det har sina två ytterligheter, det vill säga lägsta och högsta, och i detta fall ytterligheter hör inte till området. Vi kommer att beteckna detta med en öppen boll. Se:

I rött är siffrorna som hör till detta intervall, det vill säga de är siffror större än a och mindre än b. Algebraiskt skriver vi ett sådant intervall enligt följande:

< x

Där antalet x är alla de verkliga siffrorna som ligger i detta intervall. Vi kan också representera det symboliskt. Se:

]De; B [ eller (De; B)

Stängt intervall - inklusive extremiteter

Låt oss nu använda stängda bollar för att representera det ytterligheterna hör till intervallet.

Så vi samlar riktiga tal mellan a och b, inklusive dem. Algebraiskt uttrycker vi ett sådant intervall med:

den ≤ xb

Med symbolisk notation har vi:

[De; B]

Stängt intervall - inklusive en av ytterligheterna

Fortfarande har vi slutna intervall, nu har vi fallet där endast en av ytterligheterna ingår. Därför kommer ett av kulorna att stängas, vilket indikerar att numret tillhör intervallet och det andra inte, vilket indikerar att numret inte tillhör det intervallet.

Algebraiskt representerar vi detta intervall enligt följande:

den ≤ x

Symboliskt har vi:

[De; B [ eller [De; B)

Öppen räckvidd - inget slut ingår

Ett intervall öppnas när har inte ett maximalt eller minimalt element. Nu ser vi ett öppet intervallfall som bara har maximalt element, vilket inte ingår i intervallet.

Se att sortimentet består av verkliga siffror mindre änB, och notera också att antalet b som inte tillhör intervallet (öppen boll), så algebraiskt kan vi representera intervallet med:

Symboliskt kan vi representera det med:

] – ∞; B [ eller (– ∞; B)

Öppen räckvidd - inklusive det extrema

Ett annat exempel på ett öppet intervall är fallet där extremen ingår. Här har vi ett intervall där minimielementet visas, se:

Observera att alla reella tal är större än eller lika med antalet a, så vi kan skriva detta intervall algebraiskt genom att:

xtill

Symboliskt har vi:

[De; +∞[ eller [De; +∞)

öppet intervall

Ett annat fall av öppen räckvidd bildas av siffror större och mindre än siffrorna som är fasta på den verkliga linjen. Se:

Observera att de verkliga siffrorna som hör till detta intervall är de som är mindre än eller lika med antalet a eller de som är större än antalet b, så vi måste:

x till ellerx > b

Symboliskt har vi:

] – ∞; a] U] b; + ∞[

eller

(– ∞; a] U (b; + ∞)