En av de tekniker som används för att lösa Kvadratisk ekvation är metoden känd som kompletta rutor. Denna metod består av att tolka ekvation av andragrad som en perfekt fyrkantigt trinomial och skriv ditt fakturerade formulär. Ibland avslöjar denna enkla procedur redan rötterna för ekvationen.
Därför är det nödvändigt att ha grundläggande kunskaper om anmärkningsvärda produkter, trinomialfyrkantPerfekt och polynomfaktorisering att använda denna teknik. Ofta gör det dock att beräkningar kan göras "i huvudet".
Därför kommer vi att komma ihåg de tre fallen av Produkteranmärkningsvärd innan du demonstrerar metodatt slutförarutor, som i sin tur kommer att exponeras i tre olika fall.
Enastående produkter och perfekta fyrkantiga trinomials
Nästa, se den anmärkningsvärda produkten, den trinomialfyrkantPerfekt vilket motsvarar det och formen faktureras av detta trinomial. För att göra det, anser att x är okänt och De är något riktigt tal.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Ekvationen för andra graden som hänvisar till den tredje produktanmärkningsvärd, känd som summan och skillnaden, kan lösas med en teknik som gör beräkningarna ännu enklare. Som ett resultat kommer det inte att beaktas här.
Ekvationen är det perfekta kvadratiska trinomialet
Om en ekvation av andragrad är en perfekt fyrkantig trinomial, då kan du identifiera dess koefficienter som: a = 1, b = 2k eller - 2k och c = k2. För att kontrollera detta, jämför bara en kvadratisk ekvation med en trinomialfyrkantPerfekt.
Därför, i lösningen av ekvation av andragrad x2 + 2kx + k2 = 0, vi har alltid möjlighet att göra:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Således är lösningen unik och lika med –k.
Om ekvation vara x2 - 2kx + k2 = 0, vi kan göra detsamma:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Därför är lösningen unik och lika med k.
Exempel: Vad är rötterna till ekvation x2 + 16x + 64 = 0?
Observera att ekvationen är a trinomialfyrkantPerfekt, eftersom 2k = 16, där k = 8 och k2 = 64, där k = 8. Så vi kan skriva:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Här har resultatet förenklats, eftersom vi redan vet att de två lösningarna kommer att vara lika med samma reella tal.
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Ekvationen är inte ett perfekt fyrkantigt trinomium
I fall där ekvation av andragrad inte är en perfekt fyrkantig trinomial, kan vi överväga följande hypotes för att beräkna dess resultat:
x2 + 2kx + C = 0
Observera att om denna ekvation blir till a trinomialfyrkantPerfekt, ersätt bara värdet på C med värdet på k2. Eftersom detta är en ekvation är det enda sättet att göra detta att lägga till k2 på båda medlemmarna och byter sedan medlemskoefficienten C. Kolla på:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Efter denna procedur kan vi fortsätta med den tidigare tekniken och omvandla trinomialfyrkantPerfekt till en anmärkningsvärd produkt och beräkna kvadratrötterna på båda extremiteterna.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
± -tecknet visas när resultatet av a ekvation är en kvadratrot, för i dessa fall är kvadratrotresultatet a modul, som visas i det första exemplet. Slutligen är allt som återstår att göra:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Så, dessa ekvationer har två resultat verklig och tydligt, eller inget verkligt resultat när C> k2.
Till exempel, beräkna rötterna för x2 + 6x + 8 = 0.
Lösning: Observera att 6 = 2 · 3x. Därför är k = 3 och därför k2 = 9. Därför är antalet vi måste lägga till i båda medlemmarna lika med 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1-3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
I vilket fall koefficienten a ≠ 1
när koefficienten De, ger ekvation av andragrad, skiljer sig från 1, dela bara hela ekvationen med koefficientens numeriska värde De för att sedan tillämpa en av de två tidigare metoderna.
Så i 2x ekvationen2 + 32x + 128 = 0, vi har den unika roten lika med 8, för:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Och i 3x ekvationen2 + 18x + 24 = 0, vi har rötterna - 2 och - 4, för:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik
