Vi säger att derivat är förändringshastigheten för en funktion y = f (x) med avseende på x, ges av relationen ∆x / ∆y. Med tanke på en funktion y = f (x) motsvarar dess derivat vid punkten x = x0 tangenten för den bildade vinkeln genom skärningspunkten mellan linjen och kurvan för funktionen y = f (x), det vill säga linjens lutning tangent till kurva.
Enligt förhållandet ∆x / ∆y, Vi måste: 
utifrån idén om gränsens existens. Vi har en omedelbar förändringshastighet för en funktion y = f (x) med avseende på x ges av uttrycket dy / dx.
Vi måste vara medvetna om att derivat är en lokal egenskap för funktionen, det vill säga för ett givet värde på x. Det är därför vi inte kan involvera hela funktionen. Titta på diagrammet nedan, det visar skärningspunkten mellan en linje och en parabel, 1: a grads funktion respektive 2: a grads funktion:
Den raka linjen består av härledningen av parabelns funktion.
Låt oss bestämma variationerna av x när den ökar eller minskar dess värden. Förutsatt att e x varierar från x = 3 till x = 2, hitta ∆x och ∆y.
∆x = 2 - 3 = –1
Låt oss nu bestämma funktionens derivat. y = x² + 4x + 4.
y + ∆y = (x + ∆x) ² + 4 (x + ∆x) + 4 - (x² + 4x + 4)
= x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 - x² - 4x - 4
= 2x∆x + ∆x² + 4∆x
Funktionens härledda y = x² + 4x + 8 är funktionen y ’= 2x + 4. Titta på bilden:
av Mark Noah
Examen i matematik
Brasilien skollag
Ockupation - Matematik - Brasilien skola
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm