D'Alemberts sats

D'Alemberts sats är en omedelbar konsekvens av återstående sats, som handlar om uppdelningen av polynom genom binomial av typen x - a. Återstående teorem säger att ett polynom G (x) dividerat med ett binomium x - a kommer att ha resten R lika med P (a), för
x = a. Den franska matematikern D'Alembert bevisade, med beaktande av ovan nämnda teorem, att ett polynom valfri Q (x) kan delas med x - a, det vill säga resten av uppdelningen är lika med noll (R = 0) om P (a) = 0.
Denna sats gjorde det lättare att beräkna polynomdelningen med binomial (x –a), så det är inte nödvändigt att lösa hela uppdelningen för att veta om resten är lika med eller skiljer sig från noll.
Exempel 1
Beräkna resten av uppdelningen (x² + 3x - 10): (x - 3).
Som D'Alemberts sats säger kommer resten (R) av denna uppdelning att vara lika med:
P (3) = R
3² + 3 * 3-10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Så resten av denna division blir 8.
Exempel 2
Kontrollera om x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 är delbart med x - 1.
Enligt D'Alembert är ett polynom delbart med ett binomium om P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3-4
P (1) = - 1
Eftersom P (1) inte är noll kommer inte polynom att delas med binomialet x - 1.
Exempel 3
Beräkna värdet på m så att resten av polynomens uppdelning
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 av x - 2 är 6.
Vi har det, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6-38 + 3
- 8m = 9-38
- 8m = - 29
m = 29/8
Exempel 4
Beräkna resten av uppdelningen av 3x polynom³ + x² - 6x + 7 gånger 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

av Mark Noah
Examen i matematik
Brasilien skollag

Polynom - Matematik - Brasilien skola

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm