ти ирационални бројеви је дуго изазивало велику невољу код математичара. Данас, већ добро дефинисани, као ирационалан број знамо онога чији децимални приказ је увек непериодична децимална. Главна карактеристика ирационалности и оно по чему се разликују од рационалних бројева је то што они не може се представити са а разломак.
Проучавање ирационалних бројева продубљено је када су приликом израчунавања задатака који укључују Питагорину теорему пронађени нетачни корени. Чин тражења решења за ове нетачне корене учинио је постојање нетачне десетине изузетним периодични, односно бројева чији је децимални део бесконачан и нема добар низ. дефинисано. Главни ирационални бројеви су непериодични децимали, нетачни корени и π.
Прочитајте такође: Квадратни корен - случај корења где је индекс радикала 2
Скуп ирационалних бројева
Пре проучавања ирационалних бројева, проучавани су скупови бројева природни, целе бројеве и образложења. Када смо се дубље упуштали у проучавање правоугаоника, постало је јасно да
постоје неки корени који немају тачно решење, посебно је било могуће видети да су нетачна коренска решења бројеви позната као непериодична десетина.Усред овог немира многи математичари су неуспешно покушали да покажу да су нетачни корени рационални бројеви и који се може представити као разломак, али оно што је схваћено је да ови бројеви не могу бити представљени у овоме облик. Како до сада скуп рационалних бројева није обухваћао ове бројеве, јавила се потреба за стварањем новог скупа, познатог као скуп ирационалних бројева.
Број је ирационалан када је његов децимални приказ непериодична децимала. |
Шта су ирационални бројеви?
Да би био ирационалан број, мора да задовољи дефиницију, односно његов децимални приказ је непериодична децимална. Главна карактеристика непериодичних децимала је да се они не могу представити разломком, што показује да су ирационални бројеви супротни рационалним бројевима.
Главни бројеви са овом функцијом су корени нису тачни.
Примери:
а) √2
б) √5
в) √7
г) √13
Када се траже нетачна коренска решења, односно извођење децималног представљања ових бројева, увек наћи ћемо непериодичну децималу, која ове бројеве чини елементима скупа ирационалан.
Поред нетачних корена, постоје и сами непериодични децимали, на пример, ако израчунамо нетачне корене, наћи ћемо непериодичну децималу.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Ирационални бројеви су обично представљени грчким словима, јер није могуће написати све његове децимале.
Прва је π (читај: пи), присутан у прорачуну површине и обима кругова. Има вредност једнаку 3,1415926535…
Поред π, још један врло чест број је ϕ (читај: фи). Пронађен је у проблемима који укључују пропорција Златан. Има вредност једнаку 1,618033 ...
Погледајте такође: Који су прости бројеви?
рационални и ирационални број
При анализи скупова бројева, важно је разликовати рационалне бројеве од ирационалних бројева. Унија ова два скупа чини један од најпроученијих скупова у математици, скуп реала, односно скуп реални бројеви то је спајање бројева који се могу представити као разломци (рационални) са бројевима који се не могу представити као разломци (ирационални).
У комплету рационални бројеви, постоје цели бројеви, они природни, тачне децимале и периодичне децимале.
Примери рационалних бројева:
-60 → цео број
2.5 → тачна децимална вредност
5.1111111… → периодична децимала
Ирационални бројеви су непериодичне децимале, тако да не постоји број који је истовремено рационалан и ирационалан.
Пример ирационалних бројева:
1,123149… → непериодична десетина
2.769235… → непериодична десетина
Операције са ирационалним бројевима
сабирање и одузимање
ТХЕ додатак и одузимање од два ирационална броја је обично управо представљен, осим ако се не користи децимална апроксимација ових бројева, на пример:
а) √6 + √5
б) √6 - √5
ц) 1.414213… + 3.1415926535…
Не можемо додати или одузети вредности због радикала, па смо операцију управо оставили назначену.
У децималним приказима такође није могуће извршити тачан збир, па да бисмо додали два ирационална броја, потребна нам је рационална апроксимација., а овај приказ се бира према потреби за прецизношћу ових података. Што више децималних места узмемо у обзир, ближи смо тачном збиру.
Посматрање:скуп ирационалних бројева није затворен сабирањем или одузимањем, то значи да збир два ирационална броја може резултирати бројем који није рационалан. На пример, ако израчунамо разлику ирационалног броја према његовој супротности, морамо:
а) √2 - √2 = 0
б) π + (-π) = 0
Знамо да 0 није ирационалан број.
Множење и дељење
Множење и подела ирационалних бројева може да се уради ако је представљање а радикације, међутим, као и сабирање, у децималном представљању, односно множењу или дељењу два децимала, потребна је рационална апроксимација овог броја.
а) √7 · √5 = √35
б) √32: √2 = √16 = 4
Такође имајте на уму да је у примеру б 4 рационалан број, што значи да множење и дељење два ирационална броја нису затворена, односно могу имати рационалан резултат.
решене вежбе
Питање 1 - Прегледајте следеће бројеве:
И) 3.1415926535
ИИ) 4,1234510….
ИИИ) 2π
ИВ) 1.123123123 ...
В) Ј36
ВИ) Ј12
Ово су ирационални бројеви:
А) Само И, ИВ и В
Б) Само ИИ, ИИИ и ВИ
В) Само ИИ, ИВ и ВИ
Г) Само И, ИИ, ИИИ и ВИ
Е) Само ИИИ, ИВ, В и ВИ
Резолуција
Алтернатива Б.
И → број је тачно децимални, рационалан.
ИИ → број је непериодична, ирационална децимала.
ИИИ → π је ирационалан, а његов двојник, односно 2π, такође је ирационалан.
ИВ → број је периодична, рационална децимала.
В → тачан, рационалан корен.
ВИ → корен није тачан, ирационалан.
Питање 2 - Молимо вас да просудите следеће изјаве:
И - Скуп реалних бројева је унија рационалног и ирационалног;
ИИ - Збир два ирационална броја може бити рационалан број;
ИИИ - Десетина је ирационалан број.
Анализирајући изјаве, можемо рећи да:
А) Једина изјава И је истинита.
Б) Тачна је само изјава ИИ.
В) Тачна је само изјава ИИИ.
Д) Истините су само изјаве И и ИИ.
Е) Све изјаве су тачне.
Резолуција
Алтернатива Д.
И → Тачно, јер је дефиниција скупа реалних бројева унија између рационалног и ирационалног.
ИИ → Тачно, када додамо број насупрот њему, као резултат ћемо добити број 0, који је рационалан.
ИИИ → Лажна, непериодична десетина је ирационална.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm