Једначина: шта је то, основни појмови, врсте, примери

Једно једначина је математичка реченица која има једнакост и бар једну непознату, то јест када имамо учешће а алгебарски израз и једнакост. Проучавање једначина захтева претходно знање, попут проучавања нумерички изрази. Сврха једначине је наћи непознату вредност који претвара једнакост у идентитет, односно истинску једнакост.

Прочитајте такође:Операције са разломцима - како израчунати?

Основни концепти за проучавање једначина

Једначина је математичка реченица која има а непознат, најмање, и а једнакост, и можемо га рангирати по броју непознаница. Погледајте неке примере:

а) 5т - 9 = 16

Једначина је непозната, представљена словом т.

б) 5к + 6и = 1

Једначина има две непознате, представљене словима Икс и г.

ц) т⁴ - 8з = к

Једначина има три непознате, представљене словима У реду,з и Икс.

Без обзира на једначину, морамо узети у обзир вашу универзум постављен,састављен од свих могућих вредности које можемо доделити непознатима, овај скуп је представљен словом У.

• Пример 1

Размотримо једначину к + 1 = 0 и њено могуће решење к = –1. Сада узмите у обзир да су универзални скуп једначине природни.

Имајте на уму да претпостављено решење не припада скупу универзума, јер су његови елементи све могуће вредности које непознато може попримити, па к = –1 није решење једначине.

Наравно, што је већи број непознаница, то је теже одредити своје решење. ТХЕ решење или извор једначине је скуп свих вредности које, када су додељене непознатом, чине једнакост тачном.

• Пример 2

Размотрите једначину са непознатим 5к - 9 = 16, проверите да ли је к = 5 решење или корен једначине.

Тако да је то могуће рећи к = 5 је решење једначине, ову вредност морамо заменити изразом, ако нађемо истинску једнакост, број ће бити тестирано решење.

5Икс – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Уверите се да је пронађена једнакост тачна, тако да имамо идентитет и број 5 је решење. Тако можемо рећи да је скуп решења дат са:

С = {5}

• Пример 3

Размотримо једначину т² = 4 и проверите да ли су т = 2 или т = –2 решења једначине.

Аналогно томе, вредност т требало би да заменимо у једначину, међутим, имајте на уму да имамо две вредности за непознато и зато би верификацију требало да извршимо у два корака.

Корак 1 - За т = 2

т²= 4

2² = 4

4 = 4

Корак 2 - За т = –2

т² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Погледајте за т = 2 и т = - 2 проналазимо идентитет, па су ове две вредности решења једначине. Дакле, можемо рећи да је скуп решења:

С = {2, –2}

Типови једначина

Такође можемо класификовати једначину према положају који непознате особе заузимају. Погледајте главне типове:

• Полиномне једначине

У полиномске једначине се карактеришу тиме што имају полином једнак нули. Погледајте неке примере:

Тхе) 6т³+ 5т²–5т = 0

Бројеви6, 5 и –5 су коефицијенти једначине.

Б) 9Икс – 9= 0

Бројеви 9 и – 9 су коефицијенти једначине.

ц) г.²– г. – 1 = 0

Бројеви 1, – 1 и – 1 су коефицијенти једначине.

• Једначина степени

Полиномске једначине могу се класификовати према степену. Као и полиноми, степен полиномске једначине дат је са највећа снага која има коефицијент који није нула.

Из претходних примера а, б и ц имамо да су степени једначина:

а) 6т³ + 5т² –5т = 0 → Полиномна једначина трећи степен

б) 9Икс - 9 = 0 → Полиномска једначина први степен

ц) г.² - и - 1 = 0 → Полиномна једначина средња школа

Прочитајте и ви: квадратна једначинау: како израчунати, врсте, примери

• рационалне једначине

Рационалне једначине карактеришу постојање њихових непознанице у називнику а разломак. Погледајте неке примере:

Прочитајте и ви: Шта су рационални бројеви?

• ирационалне једначине

У ирационалне једначине одликују се тиме што имају своје непознате у оквиру н-тог корена, односно унутар радикала који има индекс н. Погледајте неке примере:

• експоненцијалне једначине

У експоненцијалне једначине имају непознанице смештене у експоненту а потенција. Погледајте неке примере:

• логаритамска једначина

У логаритамске једначине одликују се тиме што имају једна или више непознаница у неком делу логаритам. Видећемо да, када примењујемо дефиницију логаритма, једначина пада у неким од претходних случајева. Погледајте неке примере:

Погледајте такође: Једначина првог степена са непознатом

Како решити једначину?

Да бисмо решили једначину, морамо проучити методе коришћене у свакој врсти, односно за сваку врсту једначине постоји друга метода за одређивање могућих корена. Међутим, све ове методе су изведена из принципа еквиваленције, помоћу ње је могуће решити главне врсте једначина.

• Принцип еквиваленције

Други принцип еквиваленције, можемо слободно деловати на једној страни једнакости све док то чинимо и на другој страни једнакости. Да бисмо побољшали разумевање, именоваћемо ове стране.

Према томе, принцип еквиваленције каже да је то могуће оперисати први уд слободно све док иста операција се ради на другом члану.

Да бисте верификовали принцип еквиваленције, узмите у обзир следећу једнакост:

5 = 5

Идемо сада додати са обе стране број 7 и имајте на уму да ће једнакост и даље бити тачна:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Идемо сада одузети 10 са обе стране једнакости, имајте на уму да ће једнакост и даље бити тачна:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

види да можемо умножити или Објави и подигните на а потенција или чак издвојити а извор, све док се то ради на првом и другом члану, једнакост ће увек важити.

Да бисмо решили једначину, морамо да користимо овај принцип заједно са знањем о поменутим операцијама. Да бисмо олакшали развој једначина, изоставимо операцију на првом члану, еквивалентно је речи да преносимо број другом члану, замењујући знак за супротно.

Идеја да се одреди решење једначине је увек изоловати непознато користећи принцип еквиваленције, Погледајте:

• Пример 4

Користећи принцип еквиваленције, одредите скуп решења једначине 2к - 4 = 8 знајући да је универзумски скуп дат са: У = ℝ.

2к - 4 = 8

Да бисмо решили полиномску једначину првог степена, морамо оставити непознато у првом члану изоловано. За ово ћемо узети број –4 од првог члана, додајући по 4 на обе стране, будући да је –4 + 4 = 0.

2к - 4 = 8

2к - 4+ 4 = 8+ 4

2к = 12

Имајте на уму да је извођење овог поступка еквивалентно једноставном додавању броја 4 са супротним предзнаком. Дакле, да бисмо изоловали непознати к, проследимо број 2 другом члану, јер он множи к. (Запамтите: инверзна операција множења је дељење). То би било исто као да обе стране поделимо са 2.

Стога је скуп решења дат са:

С = {6}

• Пример 5

Решити једначину 2^{к + 5} = 128 знајући да је универзум скуп дат У = ℝ.

Да бисмо решили експоненцијалну једначину, прво употребимо следеће својство потенцирања:

Тхе^{м + н} = тхе^м · А^не

Такође ћемо се послужити чињеницом да 2² = 4 и 2⁵ = 32.

2^{к + 5} = 128

2^Икс · 2⁵ = 128

2^Икс · 32 = 128

Имајте на уму да је могуће поделити обе стране са 32, односно делити број 32 другом члану.

Дакле, морамо:

2^Икс = 4

2^Икс = 2²

Једина вредност к која задовољава једнакост је број 2, па је к = 2, а скуп решења дат је са:

С = {2}

Једначине су присутне у неколико области науке.

решене вежбе

Питање 1 - Размотримо постављени универзум У = ℕ и одредимо решење следеће ирационалне једначине:

Резолуција

Да бисмо решили ову једначину, морамо се бавити уклањањем корена првог члана. Имајте на уму да је за ово потребно првог члана подићи у исти индекс као и корен, односно у коцку. По принципу еквиваленције, морамо подићи и другог члана једнакости.

Имајте на уму да сада морамо да решимо полиномску једначину другог степена. Проследимо број 11 другом члану (одузмемо 11 са обе стране једнакости), како бисмо изоловали непознати к.

Икс² = 27 – 11

Икс² = 16

Сада да бисте утврдили вредност к, уверите се да постоје две вредности које задовољавају једнакост, к ’= 4 или к’ ’= –4, једном:

4² = 16

и

(–4)² = 16

Међутим, у изјави питања имајте на уму да је дати универзум скуп природних бројева, а број –4 му не припада, па је скуп решења дат са:

С = {4}

питање 2 - Размотримо полиномску једначину к² + 1 = 0 знајући да је универзумски скуп дат У = ℝ.

Резолуција

За принцип еквиваленције одузми 1 од оба члана.

Икс² + 1 – 1= 0 – 1

Икс² = – 1

Имајте на уму да једнакост нема решење, јер су универзални скупови стварни бројеви, односно сви вредности које непознати могу претпоставити су стварне и не постоји стварни број који је на квадрат негативан.

1² = 1

и

(–1)² = 1

Према томе, једначина нема решење у скупу реала, па стога можемо рећи да је скуп решења празан.

С = {}

написао Робсон Луиз
Наставник математике