Сви постојећи бројеви су створени према људским потребама у време стварања, као што је случај са природним бројевима, који створени су за бројање и контролу „залиха“ и ирационалних бројева који су успостављени за решавање проблема у вези са корење. Управо су проблеми који укључују корене покренули знање о комплексни бројеви.
Квадратна једначина к2 + 4к + 5 = 0 нема стварних корена. То значи да је унутар скупа реалних бројева немогуће пронаћи вредности за к које су једнаке првом члану ове једначине другој. Овај феномен посматрамо од почетка Бхаскарине формуле:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Једном када се пронађе негативна вредност за Δ, постаје немогуће наставити са Бхаскара формулом, јер захтева израчунавање √Δ (корен делте). Сада знамо да се √– 4 не може израчунати јер не постоји стварни број који би, помножен сам са собом, резултирао са - 4.
Комплексни бројеви су створени како би се задовољиле ове потребе. Од свог настанка, √– 4 се може развити на следећи начин:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
А √ (- 1) се схвата као нова врста броја. Скуп свих ових бројева познат је као скуп комплексних бројева и сваки представник овог новог скупа је дефинисан на следећи начин: Нека је А сложени број,
А = Тхе + Б.и где Тхеи Б. су реални бројеви и и = √ (- 1)
У овој дефиницији, Тхе Познат је као стварни део А. и Б. Познат је као замишљени део А.
Особине комплексних бројева
Реални бројеви у целости и геометријски представљају линију. Комплексни бројеви заузврат представљају целу раван. Картезијанска раван која се користила за представљање комплексних бројева позната је као Арганд-Гауссова раван.
Сваки комплексни број може се представити на равни Арганд-Гаусс-а као тачка координата (а, б). Удаљеност од тачке која представља комплексни број до тачке (0,0) назива се модул комплексног броја., који је дефинисан:
Нека је А = а + би комплексан број, његов модул је | А | = а2 + б2
Комплексни бројеви такође имају инверзни елемент, који се назива коњугат. Дефинисано је као:
Нека је А = а + би комплексан број,
А = а - би је коњугат овог броја.
Својство 1: Умножак комплексног броја и његовог коњугата једнак је збиру квадрата реалног дела и замишљеног дела комплексног броја. Математички:
АА = а2 + б2
Пример: Који је умножак А = 2 + 5и његовог коњугата?
Само извршите прорачун: а2 + б2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Ако бисмо изабрали да напишемо коњугат А и након тога извршили множење АА, имали бисмо:
АА = (2 + 5и) (2 - 5и)
АА = 4 - 10и + 10и + 25
АА = 4 + 25
АА = 29
Односно, коришћењем предложеног својства могуће је избећи дугачак прорачун као и грешке током ових прорачуна.
Својство 2: Ако је сложени број А једнак свом коњугати, тада је А реалан број.
Нека је А = а + би. Ако је А = А, онда:
а + би = а - би
би = - би
б = - б
Према томе, б = 0
Због тога је обавезно да сваки сложени број једнак његовом коњугату буде и стваран број.
Својство 3: Коњугат збира два сложена броја једнак је збиру коњугата ових бројева., то је:
_____ _ _
А + Б = А + Б.
Пример: Који је коњугат збира 7 + 9и и 2 + 4и?
____ ____
7 + 9и + 2 + 4и = 7 - 9и + 2 - 4и = 9 - 13и
Можете прво додати, а затим израчунати коњугат резултата, или прво направити коњугате, а затим додати резултате касније.
Својство 4: Коњугат производа између два комплексна броја једнак је производу њихових коњугата, тј:
__ _ _
АБ = А · Б.
Пример: Који је производ коњугата А = 7и + 10 и Б = 4 + 3и?
(10 + 7и) · (4 + 3и) = (10 - 7и) · (4 - 3и) = 40 - 30и - 28и - 21 = 19 - 58и
У зависности од потребе за вежбом, могуће је прво помножити и после израчунати коњугат или приказати коњугате пре извођења множења.
Својство 5: Умножак комплексног броја А и његовог коњугата једнак је квадрату модула А, тј:
АА = | А |2
Пример: А = 2 + 6и, затим АА = | А |2 = (.А2 + б2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Имајте на уму да није потребно пронаћи коњугат и извршити множење дистрибутивним својством множења над сабирањем (познато као мало туширање).
Својство 6: Модул комплексног броја једнак је модулу његовог коњугата. Другим речима:
| А | = | А |
Пример: Наћи модул коњугата комплексног броја А = 3 + 4и.
Имајте на уму да није потребно пронаћи коњугат, јер су модули исти.
| А | = √ (а2 + б2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ако би се израчунало | А |, једина промена била би Б. негативан на квадрат, што има позитиван резултат. Дакле, резултат би и даље био корен 25.
Својство 7: Ако су А и Б сложени бројеви, тада је модул производа А и Б једнак модулу производа А и Б., тј.
| АБ | = | А || Б |
Пример: Нека су А = 6 + 8и и Б = 4 + 3и, колико је | АБ |?
Имајте на уму да није потребно множити сложене бројеве пре израчунавања модула. Могуће је израчунати модул сваког сложеног броја одвојено, а затим само помножити резултате.
| А | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| Б | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| АБ | = | А || Б | = 10 · 5 = 50
Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
