О. Венов дијаграм, познат и као Венн-Еулер-ов дијаграм, је а начин за графички приказ скупа, за ово користимо затворену линију која нема самосечење и представљамо елементе скупа унутар ове линије. Идеја дијаграма је да олакша разумевање у основне постављене операције, као што су: однос инклузије и припадности, унија и пресек, разлика и комплементарни скуп.
Прочитајте и ви: Операције између целих бројева: знати својства
Прикази Венновог дијаграма
Као што је приказано, Венов дијаграм се састоји од затворене (не преплићуће се) линије на коју „постављамо“ елементе дотичног скупа, тако да можемо представљају један или више скупова истовремено. Погледајте примере:
• Појединачни сет
Можемо да вас представимо користећи једна затворена линија, на пример, представимо скуп А = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Између два сета
Морамо направити два графикона попут оног за представљање појединачног скупа. Међутим, из операција са скуповима знамо да: ако се дају два скупа, они се могу или не морају пресецати. Ако се два скупа не секу, они ће бити именовани дисјонтни скупови.
Пример 1
Нацртајте, користећи Венов дијаграм, скупове А = {а, б, ц, д, е, ф} и Б = {д, е ф, г, х, и}.
Имајте на уму да је пресек део дијаграма који припада два скупа, баш као у дефиницији.
А ∩ Б = {д, е, ф}
Пример 2
Нацртајте скупове Ц = {а, б, ц, д} и Д = {е, ф, г, х}.
Имајте на уму да је пресек ових скупова празан, јер нема ниједан елемент који истовремено припада обема, то јест:
Ц ∩ Д = {}
• Између три сета
Идеја која стоји иза приказа који користи Венов дијаграм за три скупа слична је представи између два скупа. У том смислу, скупови могу бити раздвојени један по један, односно немају никакав пресек; или могу бити два према два дисјуинтна, то јест, само два од њих се секу; или се сви секу.
Пример
Приказ, користећи Венов дијаграм, скупова А = {а, б, ц, д}, Б = {д, е, ф, г} и Ц = {д, е, ц, х}.
Погледајте такође: Важни скупови нотација
члански однос
Однос чланства омогућава нам да кажемо да ли неки елемент припада неком скупу или не. За ово користимо симболе:
Размотримо скуп А = {а, б, ц, д}. Анализирајући то, схватамо то г, на пример, не припада њему, па на Веновом дијаграму имамо:
Однос инклузије
Однос инклузије омогућава нам да кажемо без обзира да ли је скуп садржан у другом скупу или не. Када је скуп садржан у другом, кажемо да је то подсет. За ово користимо симболе:
Пример за то је однос између скупа природни бројеви и скуп од цели бројеви. Знамо да је скуп природних бројева подскуп скупа целих бројева, тј. скуп природних садржи скуп целих бројева.
Операције између скупова
Основне операције између два или више скупова су: јединство, раскрсница и разлика између два скупа.
• Унија
Унија између два скупа настаје спајањем елемената садржаних у сваком скупу, другим речима: разматрају се сви елементи два скупа. Погледајте:
Размотримо скупове А = {1, 2, 3, 4} и Б = {3, 4, 5, 6, 7}. Заједницу између њих дају:
А У Б = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
У Веновом дијаграму засјенили смо спојни дио, односно оба скупа, провјерите:
• Пресек
Пресек је нови нумерички скуп који чине елементи који истовремено припадају другим скуповима. Уопштено говорећи, пресек између скупова у Веновом дијаграму дат је делом заједничким за обухваћене графиконе. Погледајте:
Поново узимајући у обзир скупове А = {1, 2, 3, 4} и Б = {3, 4, 5, 6, 7}, имамо да елементи који истовремено припадају скупу А и скупу Б јесу :
А ∩ Б = {3,4}
• Разлика између два сета
Размотримо два скупа Ц и Д, разлика између њих (Ц - Д) биће нови скуп који чине елементи који припадају Ц, а не припадају Д. Генерално, ову разлику можемо представити користећи Венов дијаграм на следећи начин:
решене вежбе
Питање 1 - (Уфал) На следећој слици су представљени нераздвојени скупови А, Б и Ц. Обојена регија представља скуп:
а) Ц - (А ∩ Б)
б) (А ∩ Б) - Ц.
в) (А У Б) - Ц.
г) А У Б У Ц.
д) А ∩ Б ∩ Ц.
Решење
Алтернатива б.
Сећајући се операција са скуповима, знамо да је пресек два скупа у Веновом дијаграму дат њима заједничким делом. Узимајући у обзир скупове А, Б и Ц и бојећи пресек скупова А ∩ Б, имамо:
Наслов: Решење питање1 - 1. део
Имајте на уму да ако уклонимо елементе из скупа Ц, добићемо обојени део који захтева вежба, односно у почетку морамо истакнути пресек, а затим уклонити елементе из Ц.
(А ∩ Б) - Ц.
питање 2 - (Уерј) Деца у школи су учествовала у кампањи вакцинације против дечје парализе и морбила. После кампање утврђено је да је 80% деце добило вакцину за парализу, 90% вакцину против морбила, а 5% није добило ни једно ни друго.
Одредите проценат деце у овој школи која су примила обе вакцине.
Решење
Како је проценат деце која су примила обе вакцине непознат, назовимо га к. Имајте на уму да не смемо да радимо са симболом%, већ записујемо проценте вежбања у њиховом децималном или разломљеном облику.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Да бисмо сазнали укупан број деце која су узимала само вакцину против парализе, одузели смо верификовани проценат (80%) процента оних који су узимали оба (к), а исто би требало урадити и за децу која су узела само вакцину против морбила. Тако:
Ако се придружите свој деци, проценат ће бити 100%, дакле:
0,9 - к + к + 0,8 - к + 0,05 = 1
1,75 - к = 1
- к = 1 - 1,75
(–1) · - к = - 0,75 · (–1)
к = 0,75
к = 75%
Стога је 75% деце у школи имало обе вакцине.
Аутор Л.до Робсон Луиз
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
