Арганд-Гауссова раван (сложена раван)

О. Арганд-Гауссов план чине га две осе: једна вертикална (позната као замишљена ос) и једна хоризонтално (позната као стварна осовина). Могуће је геометријски представљају комплексни бројевикоји су у алгебарском облику.

Кроз овај геометријски приказ то је могуће развити неке концепте, попут модула и аргумента комплексног броја. Комплексни бројеви су алгебарски представљени з = а + би, па су представљени тачкама (а, б), што се назива афиксом.

Прочитајте такође: Геометријски приказ збира комплексних бројева

Геометријски приказ комплексних бројева

Представљање комплексних бројева у Арганд-Гауссовој равни

Комплексни авион, познат и као Арганд-Гауссов авион, није ништа више од аКартезијански авион за сложене бројеве. У равни Арганд-Гаусс-а могуће је представити сложени број као тачку, познат као афикс. Са развојем сложеног плана долази до развијање аналитичка геометрија за сложене бројеве, што омогућава развијање важних концепата као што су модул и аргумент.

Комплексни број представљен у свом алгебарском облику је

з = а + би, на шта Тхе је стварни део и Б. је замишљени део. Стога, сложени бројеви представљени су тачком (а, б). У равни Арганд-Гаусс, хоризонтална ос је ос стварног дела, а вертикална оса ос замишљеног дела.

Приложи

О. тачка на равни која представља комплексни број назива се и афиксом. Три су могућа случаја представљања: замишљени афикси, стварни афикси и чисти имагинарни афикси.

• замишљени афикси

Афикс је познат као имагинарни када комплексни број има оба а стварни део и замишљени део који није нула. У овом случају је додатак тачка у било ком од четири квадранта, у зависности од вредности а, б и њихових одговарајућих знакова.

Пример:

Погледајте приказ комплексних бројева з₁ = 2 + 3и, з₂ = -3 - 4и, з₃ = -2 + 2и и з₄= 1 - 4и.

Погледајте такође: Својства која укључују комплексне бројеве

• чисти замишљени афикси

Сложени број познат је као чисти имагинарни, када је ваш стварни део једнак нули, односно з = би. Имајте на уму да је у овом случају прва координата увек нула, па хајде да радимо са тачкама типа (0, б). При маркирању у равни Арганд-Гаусс, увек чисти замишљени додатак биће тачка која припада замишљеној оси, односно на вертикалну осу.

Пример:

Погледајте приказ комплексних бројева з₁ = 2и и з₂= -3и.

• прави афикси

Комплексни број је класификован као а Прави бројкада ваш замишљени део једнак је нули, односно з = а. У овом случају, друга координата је увек нула, па ћемо радити са тачкама типа (а, 0), па је замишљени део нула и афикси су садржани у стварној оси комплексне равни.

Пример:

Погледајте приказ комплексних бројева з₁ = 2 и з₂ = -4.

Модул сложеног броја

Када представљамо комплексни број, нека је П (а, б) додатак комплексног броја з = а + би. Знамо модул комплексног броја а удаљеност од тачке П до исходишта. Модул комплексног броја з представљен је са | з |. Да бисмо пронашли вредност | з |, користимо Питагорина теорема.

| з | ² = а² + б²

Такође можемо представити:

Пример:

Наћи модул комплексног броја з = 12 -5и.

| з | ² = 12² + (-5) ²

| з | ² 144 + 25

| з | ² = 169

| з | = √169

| з | = 13

Такође приступите: Шта су рационални бројеви?

аргумент сложеног броја

Ми знамо како расправа комплексног броја О. угао θ који чине вектор ОП и стварна ос. Аргумент броја представљен је арг (з) = θ.

Да бисмо пронашли угао, користимо тригонометријски односи синус и косинус.

Да бисмо пронашли вредност аргумента, само знајући синус и косинус погледајте табелу вредности за ове тригонометријске односе. Обично је на питањима пријемног испита на колеџ на ову тему аргумент изузетан угао.

Пример:

Пронађите аргумент комплексног броја з = 1 + и.

Прво израчунајмо модул з.

| з | ² = 1² + 1²

| з | ² = 1 + 1

| з | ² = 2

| з | = √2

Знајући | з |, можемо израчунати синус и косинус угла.

Угао који има синус и косинус са пронађеним вредностима је 45º.

решене вежбе

Питање 1 - Који је аргумент комплексног броја з = √3 + и?

А) 30-ог

Б) 45.

В) 60-та

Д) 90º

Е) 120.

Резолуција

Алтернатива Ц.

Знамо да је а = √3 и б = 1, па:

Питање 2 - У следећем сложеном плану представљени су неки бројеви. Анализирајући план, можемо рећи да су тачке прикази чистих имагинарних бројева:

А) М, Н и И.

Б) П и И.

В) Л и Г.

Д) О, И, Г.

Е) К, Ј и Л.

Резолуција

Алтернатива Б.

Да бисте идентификовали чисти имагинарни број у комплексној равни, неопходно је да он буде на врху вертикалне осе, а то су, у овом случају, тачке П и И.

Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm