тригонометријски круг је круг полупречника 1 представљен у Картезијански авион. У њему је хоризонтална ос косинусна, а вертикална синусна ос. Такође се може назвати тригонометријским циклусом.
Користи се за проучавање тригонометријских односа. Помоћу ње је могуће боље разумети главне тригонометријске разлоге за углови веће од 180º, и то: синус, косинус и тангента.
Прочитајте такође: 4 најчешће грешке у основној тригонометрији
Корак по корак за изградњу тригонометријског круга
Да бисмо конструисали тригонометријски круг, користимо две осе, једна вертикална и једна хоризонтална, попут картезијанске равни. Хоризонтална оса је позната као косинусна оса, а вертикална оса је позната као синусна оса.
Изградњом оса нацртајмо график кружнице која има полупречник 1.
Тригонометријски односи у кругу
Круг користимо за проналажење вредности синус, косинус и тангента, према вредности угла. имајући у
вертикалној оси вредност синуса, а на хоризонталној оси косинусна вредност, одређивањем угла на тригонометријској кружници, могуће је пронаћи вредност синуса и косинуса анализом координате тачке у којој одсечак линије повезује средиште круга и обим, представљене са П на слици а пратити. Ако линију тангенте извучемо на круг у тачки (1.0), такође можемо аналитички израчунати тангенту овог угла према слици:
Прочитајте такође: Шта су секант, косекант и котангенс?
Тригонометријски кружни радијани
Знамо да се лук може мерити помоћу две различите мерне јединице: мера у степенима и мера у радијани. Знамо да је обим је 360º и да је дужина вашег лука 2π:
Квадранти тригонометријског круга
Било у радијанима или степенима, могуће је дефинисати квадрант у коме се налази дати лук према његовом мерењу.
Анализирајући циклус, морамо:
први квадрант: углови који су између 0 до 90 ° или 0 и π / 2 радијана;
други квадрант: углови који су између 90 ° и 180 ° или π / 2 и π радијана;
трећи квадрант: углови који су између 180 ° и 270 ° или π и 3 π / 2 радијана;
четврти квадрант: углови који су између 270 ° и 360 ° или 3π / 2 и 2π радијана.
Прочитајте такође: Карактеристике и особине плана
Изузетни углови у тригонометријском кругу
На почетку проучавања тригонометрија, сазнали смо да су запажени углови углови од 30º, 45º и 60º, који имају вредност познатог синуса, косинуса и тангенте. Међутим, због симетрије тригонометријског циклуса, могуће је пронаћи вредности синуса и косинуса за ове углове и симетричне углове њему у сваком од квадраната.
Тригонометријски кружни знаци
Да би се разумео који је знак сваког од тригонометријских односа у циклусу, довољно је анализирати вредности оса у картезијанској равни.
Почнимо са косинусом. С обзиром да је реч о хоризонталној оси, косинус углова укључених десно од вертикалне осе је позитиван, а косинус углова укључених лево од вертикалне осе је негативан.
Сада, да бисте разумели синусни знак угла, само запамтите да је вертикална ос синусна ос, тако да је синус угла који је изнад хоризонталне осе позитиван; али ако је угао испод водоравне осе, синус овог угла је негативан, као што је приказано на следећој слици:
Знамо да је тангента је однос између синуса и косинуса, затим, да бисмо пронашли знак тангенте за сваки од квадраната, играмо игру знакова, чиме тангента постаје позитивна у непарним, а негативна у парним квадрантима:
Прочитајте такође: Шта су полуправи, полуравни и полупростор?
симетрија у кругу
Анализирајући тригонометријски циклус, могуће је конструисати начин за смањење синуса, косинуса и тангенте на први квадрант. Ово смањење значи проналажење у првом квадранту угла који је симетричан углу осталих квадраната, јер, када радимо са симетричним углом, вредност тригонометријских односа је иста, мењајући само његову сигнал.
Смањење угла који је у 2. квадранту на 1. квадрант
Почевши од углова који су у 2. квадранту, морамо:
Као што знамо, у 1. и 2. квадранту синус је позитиван. Дакле, за израчунавање смањења синуса са 2. квадранта на 1. квадрант користимо формулу:
син к = син (180º - к)
Косинус и тангента у 2. квадранту су негативни. Да бисмо смањили косинус из 2. квадранта у 1. квадрант, користимо формулу:
цоск = - цос (180º - к)
тг к = - тг (180º - к)
Пример:
Колика је вредност синуса и косинуса угла од 120 °?
Угао од 120 ° је квадратни други угао јер је између 90 ° и 180 °. Да бисмо смањили овај угао на 1. квадрант, израчунавамо:
грех 120 ° = грех (180 ° - 120 °)
грех 120º = грех 60º
Угао од 60 ° је изузетан угао, па је позната његова синусна вредност, па:
Сада израчунајмо ваш косинус:
цос 120º = - цос (180 - 120)
цос 120º = - цос 60º
Као што знамо косинус од 60º, морамо:
Смањење угла који се налази у 3. квадранту у 1. квадранту
Као и у 2. квадранту, постоји симетрија између углова у 3. квадранту и углова у 1. квадранту.
Синус и косинус у трећем квадранту су негативни. Дакле, да бисмо смањили синус и косинус са 3. квадранта на 1. квадрант, користимо формулу:
син к = - син (к - 180º)
цоск = - цос (к - 180º)
Тангента у 3. квадранту је позитивна. Да бисмо га смањили, користимо формулу:
тг к = тг (к - 180º)
Пример:
Израчунајте синус, косинус и тангенту од 225º.
син 225º = - грех (225º - 180º)
грех 225º = - грех 45º
Како је 45º изванредан угао, приликом консултовања стола морамо:
Сада, израчунавајући косинус, морамо:
тг 225º = тг (225º - 180º)
тг 225º = тг 45º
Знамо да је тг45º = 1, па:
тг 225º = 1
Смањење угла који је у 4. квадранту у 1. квадрант
Са истим резоновањем као и претходна смањења, постоји симетрија између 4. и 1. квадранта:
Вредности синуса и тангенте у 4. квадранту су негативне. Дакле, да бисмо извршили смањење са 4. на 1. квадрант, користимо формулу:
син к = - син (360º - к)
тг к = - тг (360º - к)
Косинус у 4. квадранту је позитиван. Дакле, да бисмо свели на 1. квадрант, формула је:
цос к = цос (360º - к)
Пример:
Израчунајте вредност синуса и косинуса од 330º.
Почевши од синуса:
Сада израчунавамо косинус:
Прочитајте такође: Како израчунати растојање између две тачке у простору?
Вежбе решене тригонометријским кругом
Питање 1 - Током проучавања кружног момента, физичар је анализирао објекат који се окретао око себе, формирајући угао од 15.240º. Анализирајући овај угао, лук који он формира налази се у:
А) квадрант И.
Б) квадрант ИИ.
В) квадрант ИИИ.
Д) квадрант ИВ.
Е) на врху једне осе.
Резолуција
Алтернатива Б.
Знамо да је сваки објекат од 360 ° заокружио круг око себе. Приликом извођења подела од 15.240 пута 360, открићемо колико је потпуних завоја овај објекат направио око себе, али наш главни интерес је остало, што представља угао под којим се зауставио.
15.240: 360 = 42,333…
Резултат показује да је направио 42 окрета око себе, али 360 · 42 = 15,120, па је оставио угао од:
15.240 – 15.120 = 120º
Знамо да је 120 ° квадратни други угао.
Питање 2 - Молимо вас да просудите следеће изјаве:
И → При израчунавању тг 140º, вредност ће бити негативна.
ИИ → Угао од 200 ° је угао 2. квадранта.
ИИИ → Сен 130º = грех 50º.
Означите тачну алтернативу:
А) Само сам ја лажан.
Б) Само је ИИ нетачно.
В) Само је ИИИ нетачно.
Д) Све су истините.
Резолуција
Алтернатива Б.
И → Тачно, јер угао од 140º припада 2. квадранту, у којем је тангента увек негативна.
ИИ → Нетачно, јер је угао од 200 ° угао 3. квадранта.
ИИИ → Тачно, јер да бисте смањили угао са 2. на 1. квадрант, само израчунајте разлику од 180 ° - к, а затим:
грех 130 ° = грех (180 ° - 130 °)
грех 130-ти = грех 50-ти
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm