Шта је пермутација?

Пермутација је један од предмета о коме се говори у дисциплини комбинаторна анализа у математици. Имајући у руци било коју уређену секвенцу са „н“ бројем различитих елемената, било која друга секвенца коју чине исти „н“ преуређени елементи назива се пермутација.

Према томе, можемо рећи да ако је А пермутација Б, онда су А и Б састављени од истих елемената, али различито уређених.

Одакле долазе пермутације?

Пермутације су изоловани случајеви Једноставни аранжмани. То су поредане групације скупа А елемената, тако да групе имају мање или једнак број елемената од скупа А.

Скуп А = {Кс, И, З}, {Кс, И} и {И, Кс} је а једноставан аранжман елемената из А узетих 2 до 2. Број елемената А представљен је словом „н“. О. редни број, или број класе, је „к“. Овај број је број елемената у сваком једноставном низу (у случају примера овај број је 2).

Листа са свим једноставним аранжманима три елемента А узета од 3 до 3 је следећа:

КСИЗ, КСЗИ, ЗКСИ, ЗИКС, ИЗКС и ИКСЗ

Ова листа је управо посебан случај аранжмана који добијају назив пермутације.

Прорачун једноставних аранжмана

Број једноставних аранжмана скупа А, који има не узети елементи к Тхе ох, може се израчунати према следећој формули:

ТХЕ_{не, ок} = не!
(н - к)!

Дефиниција пермутације

Нека је А скуп са не различити елементи. ти једноставни аранжмани од ових елемената узетих н до н се називају једноставне пермутације од А. Дакле, да би то била пермутација, неопходно је да је редни број к бити једнак броју не елемената А. Из овога произилазе следећи прорачуни:

Узимајући формулу која се користи за једноставне низове и редни број к = н, имаћемо:

Ово је формула која се користи за израчунавање броја пермутација елемената скупа А, обично означених са П_не. Ускоро:

Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)

П._не = А_{не, не} = н!

П._не = н!

Пример

Израчунај број пермутација слова речи ЉУБАВ.

Решење:

Имајте на уму да реч ЉУБАВ има 4 различита елемента. Да бисмо израчунали број пермутација ове речи, користићемо горњу формулу:

П._не = н!

П.₄ = 4!

П.₄ = 4·3·2·1

П.₄ = 24

Стога је могуће формирати 24 различите пермутације слова речи ЉУБАВ. Такође се називају и пермутације речи анаграми.

Пермутације са поновљеним елементима

Било који скуп може имати поновљене елементе. У пермутације тај скуп треба да размотри понављање ових елемената, јер редослед у којем се појављују није важан, за разлику од редоследа осталих елемената у скупу. Ако променимо само два „А“ места у речи АМАР, добићемо исту реч. Сличне речи нису пермутације, стога се ово понављање мора одузети у формули за пермутације.

Да одузмемо сва могућа понављања елемената у једном пермутација са поновљеним елементима, морамо урадити следеће:

Нека је А скуп са не елементи, од којих к елементи се понављају. Формула за израчунавање пермутација А је:

П._не^к = не!
к!

Ако је постављено А, са не елементе, поседовати к понављања елемента и ј понављања другог, прорачун ће се догодити на следећи начин:

П._не^хаха =  не!
к! · ј!

Ако је скуп А, са не елементи, има к понављања елемента, ј понављања другог,..., м понављања другог, формула има следећи облик:

П._не^{к, ј,..., м} =  не!
к! · ј! ·... · М!

Пример

Израчунај број анаграма речи АНТОНИА.

Решење:

Да бисте решили пример, само израчунајте пермутације са поновљеним елементима речи АНТОНИЈА. И слово А и слово Н понављају се 2 пута. Гледати:

П.₇^2,2 =  7!
2!·2!

П.₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

П.₇^2,2 = 5040
4

П.₇^2,2 = 1260

Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику