За разлику од геометријских фигура које је он формирао, Сцоре нема дефиницију. То значи да је у Геометрији тачка недефинисани објекат који се користи за дефинисање других објеката. На пример, линије су скупови тачака. Иако изгледају добро дефинисане, линије такође немају дефиницију, јер се било који скуп који садржи две или више тачака сматра правим.
С друге стране, у аналитичкој геометрији тачка се узима као локација. Било која локација може бити представљена тачком, а поред тога, „адреса“ те тачке дата је помоћу координата.
Међутим, у аналитичкој геометрији тачке су у стању да означе само локације. Остали објекти су потребни да означе путању, правац, смер и интензитет. У случају ове последње три, објекат изабран да их представља у картезијанској равни је вектор.
→ Шта је вектор?
Вектори, дакле, јесу објекти који указују на правац, смисао и интензитет. Обично су представљени стрелицама које почињу од исходишта и користе се координате њихове последње тачке.
На горњој слици вектори су представљени на овај начин, односно стрелице чије координате одговарају њиховој коначној тачки. Вектор у има координате (2,2), а вектор в има координате (4,2). Такође, стрелица се користи за означавање смера и смера, а њена величина показује интензитет.
→ Множење вектора бројем
С обзиром на вектор в = (а, б), производ реалног броја к од в дат је изразом:
к · в = к · (а, б) = (к · а, к · б)
Другим речима, да бисте помножили реални број са вектором, морате помножити реални број са сваком од његових координата.
Геометријски, множењем вектора са реалним бројем линеарно се повећава величина вектора:
Имајте на уму да у горњем примеру вектор у има координате (2.2), а вектор у · к има координате (4.4). Решавајући једначину (4.4) = к (2.2), може се закључити да је к = 2.
→ Додавање вектора
С обзиром на два вектора у = (а, б) и в = (ц, д), зброј између њих добиће се изразом:
у + в = (а + ц, б + д)
Другим речима, само збројите одговарајуће координате сваког вектора. Ова операција се може проширити збројем 3 или више вектора са 3 или више димензија.
Геометријски, почевши од крајње тачке вектора у, повлачи се вектор в 'паралелно са вектором в. Полазећи од вектора в, повлачи се вектор у 'паралелно са вектором у. Ова четири вектора чине паралелограм. Вектор у + в је следећа дијагонала овог паралелограма:
Да бисте одузели векторе, узмите у обзир одузимање као збир једног и супротног вектора. На пример, да бисте одузели вектор в од вектора у, напишите: у - в = у + (-в). -В вектор је в вектор, али са обрнутим координатним предзнацима.
Гледајући изблиза, операције „множење вектора бројем“ и „додавање вектора“ искористите операције множења и сабирања на реалним бројевима, али на свакој компоненти вектор. Стога за векторе важе сва својства сабирања и множења реалних бројева, и то:
С обзиром на векторе у, в и в и реалне бројеве к и л,
и) (у + в) + в = у + (в + в)
ии) у + в = в + у
иии) постоји вектор 0 = (0.0) такав да је в + 0 = в
ив) Постоји вектор -в такав да је в + (-в) = 0
в) к (у + в) = ку + кв
ви) (к + л) в = кв + лв
вии) кл (в) = к (лв)
виии) 1в = в
→ Стандард вектора
Норма вектора је еквивалент величине стварног броја, односно растојања између вектора и тачке (0,0) или, у зависности од референтног оквира, дужине вектора.
Норма вектора в = (а, б) означава се са || в || и може се израчунати помоћу израза:
|| в || = √ (а2 + б2)
→ Интерни производ
Унутрашњи производ је упоредив са производом између вектора. Имајте на уму да је горе поменути производ производ између вектора и реалног броја. Сада је предметни „производ“ између два вектора. Међутим, не треба рећи „производ између два вектора“, већ „унутрашњи производ између два вектора“. Унутрашњи производ између вектора в = (а, б) и у = (ц, д) означен је са
Такође је уобичајено користити следећи запис:
Имајте на уму да, користећи норму вектора в = (а, б), можемо повезати норму и тачкасти производ.
|| в || = √ (а2 + б2) = √ (а · а + б · б) = √ (
Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm