ТХЕ седиште обично се користи за организовање табеларних података како би се олакшало решавање проблема. Подаци о матрици, било нумерички или не, уређени су уредно у редове и колоне.
Скуп матрица опремљених операцијама додатак, одузимање и множење а особине као неутрални и инверзни елемент чине математичку структуру која омогућава његову примену у разним областима ове велике области знања.
Види и ти: Однос матричног и линеарног система
Матрично представљање
Пре почетка проучавања матрица, потребно је успоставити неке нотације у вези са њиховим приказима. У матрице су увек представљене великим словима. (А, Б, Ц…), који су праћени индексима, у којима су први број означава број редова, а други број колона.
ТХЕ број линија (хоризонтални редови) и колоне (вертикални редови) матрице одређује њен ред. Матрица А има ред м по н. Позивају се информације садржане у низу елементи а организовани су у заграде, углате заграде или две вертикалне траке, погледајте примере:
Матрица А има два реда и три колоне, па је њен ред два по три → А2к3.
Матрица Б има један ред и четири колоне, па је њен ред један према четири, па се тако зове линијска матрица → Б1к4.
Матрица Ц има три реда и једну колону, и тако се назива матрица колоне а ред му је три по један → Ц.3к1.
Можемо генерички да представимо елементе низа, то јест, можемо да напишемо овај елемент користећи математички приказ. О.генерички елемент биће представљен малим словима (а, б, ц…), и, као и у приказу низова, такође има индекс који указује на његово место. Први број означава ред у којем је елемент, а други број колону у којој се налази.
Размотрите следећу матрицу А, ми ћемо навести њене елементе.
Посматрајући први елемент који се налази у првом реду и првој колони, односно у првом реду и првом ступцу, имамо број 4. Да бисмо олакшали писање, означићемо га са:
Тхе11 → линија један елемент, колона један
Дакле, имамо следеће елементе матрице А2к3:
Тхе11 = 4
Тхе12 =16
Тхе13 = 25
Тхе21 = 81
Тхе22 = 100
Тхе23 = 9
Генерално, можемо писати низ у функцији његових генеричких елемената, ово је генеричка матрица.
Матрицу од м реда и н ступаца представља:
Пример
Одредити матрицу А = [аиј ]2к2, која има следећи закон о обуци даиј = ј2 - 2и. Из података извода имамо да је матрица А реда два по два, односно да има две линије и два ступца, дакле:
Поред тога, дат је и закон о формирању матрице, односно сваки елемент је задовољан везом саиј = ј2 - 2и. Замењујући вредности и и ј у формули, имамо:
Тхе11 = (1)2 - 2(1) = -1
Тхе12 = (2)2 - 2(1) = 2
Тхе21 = (1)2 - 2(2) = -3
Тхе22 = (2)2 - 2(2) = 0
Према томе, матрица А је:
Типови низова
Неке матрице заслужују посебну пажњу, погледајте сада ове врсте низова са примерима.
квадратна матрица
Матрица је квадратна када је број редова једнак је броју колона. Матрицу која има н редова и н колона представљамо матрицом Ане (чита: квадратна матрица реда н).
У квадратним матрицама имамо два врло важна елемента, дијагонале: главна и споредна. Главну дијагоналу чине елементи који имају једнаке индексе, то јест сваки елемент аиј са и = ј. Секундарну дијагоналу чине елементи аиј са и + ј = н +1, где је н ред матрице.
идентитет матрица
Матрица идентитета је квадратна матрица која има светиелементи главне дијагонале једнаки 1 и остали елементи једнаки 0, његов закон о формирању је:
Ову матрицу означавамо са И, где је н редослед квадратне матрице, погледајте неке примере:
матрица јединица
То је квадратна матрица реда првог, односно има ред и колону и, према томе, само један елемент.
А = [-1]1к1, Б = И1 = (1)1к1 и Ц = || 5 ||1к1
Ово су примери јединичних матрица, са нагласком на матрици Б, која је а матрица идентитета јединице.
нулл матрица
За низ се каже да је нула ако су сви његови елементи једнаки нули. Представљамо нулту матрицу реда м по н по Омкн.
Матрица О је нула реда 4.
супротна матрица
Размотримо две матрице једнаког реда: А = [аиј]мкн и Б = [биј]мкн. Те матрице ће се звати супротно ако и само ако јеиј = -биј. Тако, одговарајући елементи морају бити супротни бројеви.
Можемо представити матрицу Б = -А.
транспонована матрица
Две матрице А = [аиј]мкн и Б = [биј]нкм су транспоновани ако и само ако јеиј = бји , то јест, дата је матрица А, да би се пронашло њено транспоновање, само узмите линије као колоне.
Транспозиција матрице А означена је са АТ.. Погледајте пример:
Види више: Инверзна матрица: шта је то и како проверити
Матричне операције
Скуп матрица има операције аврло добро дефинисано сабирање и множење, то јест, кад год оперишемо са две или више матрица, резултат операције и даље припада скупу матрица. Међутим, шта је са операцијом одузимања? Ову операцију схватамо као инверзно сабирање (супротна матрица), која је такође врло добро дефинисана.
Пре него што дефинишемо операције, хајде да разумемо идеје одговарајући елемент и једнакост матрица. Одговарајући елементи су они који заузимају исти положај у различитим матрицама, односно налазе се у истом реду и колони. Очигледно да низови морају бити истог реда да би постојали подударни елементи. Погледајте:
Елементи 14 и -14 су одговарајући елементи супротних матрица А и Б, јер заузимају исти положај (исти ред и колона).
За две матрице ће се рећи да су једнаке онда и само ако су одговарајући елементи једнаки. Дакле, с обзиром на матрице А = [аиј]мкн и Б = [биј]мкн, то ће бити исто ако и само акоиј = биј за било који и ј.
Пример
Знајући да су матрице А и Б једнаке, одредите вредности к и т.
Пошто су матрице А и Б једнаке, онда одговарајући елементи морају бити једнаки, дакле:
к = -1 и т = 1
Сабирање и одузимање матрица
Операције сабирање и одузимање између матрица прилично су интуитивни, али прво мора бити задовољен услов. Да бисте извршили ове операције, прво је потребно проверити да ли редоследи низова су једнаки.
Једном када је овај услов проверен, сабирање и одузимање матрице се врши додавањем или одузимањем одговарајућих елемената матрица. Размотримо матрице А = [аиј]мкн и Б = [биј]мкн, онда:
А + Б = [аиј + биј] мкн
А - Б = [аиј - Б.иј] мкн
Пример
У наставку размотрите матрице А и Б, одредите А + Б и А - Б.
Прочитајте и ви: Операције са целим бројем
Множење реалног броја матрицом
Множење реалног броја у матрици (познато и као множење матрице) скаларом даје се множењем сваког елемента матрице скаларом.
Нека је А = [аиј]мкн матрицу и т реални број, па:
т · А = [т · аиј]мкн
Погледајте пример:
Множење матрице
Множење матрица није тако тривијално као њихово сабирање и одузимање. Пре извођења множења мора бити задовољен и услов у погледу редоследа матрица. Размотримо матрице А.мкн и Б.нкр.
Да би извршио множење, број колона у првој матрици мора бити једнак броју редова у другој. Матрица производа (која долази од множења) има редослед дат бројем редова у првом и бројем колона у другом.
Да бисмо извршили множење између матрица А и Б, морамо сваки ред помножити са свим колонама на следећи начин: први елемент од А помножи се са првим елементом Б, а затим се дода другом елементу А и помножи са другим елементом Б, и тако узастопно. Погледајте пример:
Прочитајте и ви: Лаплацеова теорема: знати како и када користити
Вежбе решене
Питање 1 - (У. И. Лондрина - ПР) Нека су матрице А и Б 3 к 4 и п к к, а ако матрица А · Б има ред 3 к 5, онда је тачно да:
а) п = 5 и к = 5
б) п = 4 и к = 5
в) п = 3 и к = 5
г) п = 3 и к = 4
д) п = 3 и к = 3
Решење
Имамо изјаву да:
ТХЕ3к4 · Б.пкк = Ц.3к5
Из услова за множење две матрице имамо да производ постоји само ако је број колона у првој једнак броју редова у другој, па је п = 4. А такође знамо да је матрица производа дата бројем редова у првом са бројем колона у другом, па је к = 5.
Према томе, п = 4 и к = 5.
О: Алтернатива б
Питање 2 - (Вунесп) Одредите вредности к, и и з на следећој једнакости, укључујући 2 к 2 реалне матрице.
Решење
Извршимо операције између низова, а затим једнакост између њих.
Да бисмо утврдили вредност к, и и з, решићемо линеарни систем. У почетку додамо једначине (1) и (2).
2к - 4 = 0
2к = 4
к = 2
Замењујући вредност к пронађену у једначини (3), имамо:
22 = 2з
2з = 4
з = 2
И на крају, замењујући вредности к и з пронађене у једначини (1) или (2), имамо:
к + и - з = 0
2 + и - 2 = 0
и = 0
Према томе, решење задатка даје С = {(2, 0, 2)}.
написао Робсон Луиз
Наставник математике