Концепти вишеструки и преграде природног броја протеже се на скуп од цели бројеви. Када се бавимо темом вишеструких и делитеља, позивамо се на нумерички скупови који задовољавају неке услове. Вишеструки се налазе након множења са целим бројевима, а делитељи су бројеви који се могу делити са одређеним бројем.
Због тога ћемо пронаћи подскупове целих бројева, јер су елементи скупова вишекратника и делиоци елементи скупа целих бројева. Да бисмо разумели шта су прости бројеви, неопходно је разумети концепт делитеља.
вишекратници броја
бити Тхе и Б. два позната цела броја, број Тхе је вишеструко од Б. ако и само ако постоји цео број к тако да Тхе = Б. · К. Према томе скуп вишеструких у Тхедобија се множењемТхеза све целе бројеве, резултати ових множења су вишекратници од Тхе.
На пример, наведимо првих 12 вишекратника од 2. За ово морамо број 2 помножити са првих 12 целих бројева, овако:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Дакле, вишекратници 2 су:
М (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Имајте на уму да смо навели само првих 12 бројева, али могли смо их навести онолико колико је потребно, јер се листа вишекратника даје множењем броја са свим целим бројевима. Тако, скуп вишеструких је бесконачан.
Да бисмо проверили да ли је број вишекратник броја, морамо пронаћи цео број тако да множењем између њих добијемо први број. Погледајте примере:
→ Број 49 је вишекратник 7, јер постоји цео број који помножен са 7 резултира 49.
49 = 7 · 7
→ Број 324 је вишекратник од 3, јер постоји цео број који помножен са 3 резултира 324.
324 = 3 · 108
→ Број 523 не је вишекратник 2 јер нема целог броја што помножено са 2 резултира 523.
523 = 2 · ?
Прочитајте такође: Својства множења која олакшавају ментално рачунање
Вишекратници од 4
Као што смо видели, да бисмо одредили вишекратнике броја 4, морамо број 4 помножити са целим бројевима. Тако:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Дакле, вишекратници 4 су:
М (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Вишеструки од 5
Аналогно томе имамо и вишекратнике од 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Дакле, вишекратници од 5 су: М (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
разделници за један број
бити Тхе и Б. две познате целобројне вредности, рецимо Б. је делилац Тхе ако број Б. је вишеструко од Тхе, то је подела између Б. и Тхе је тачно (мора напустити одморити се 0).
Погледајте неке примере:
→ 22 је вишекратник 2, па је 2 делитељ 22.
→ 63 је вишекратник 3, па је 3 делитељ 63.
→ 121 није вишекратник од 10, тако да 10 није делилац 121.
Да бисмо пописали делиоце броја, морамо потражити бројеве који га деле. Погледајте:
- Наведи преграде за 2, 3 и 20.
Д (2) = {1, 2}
Д (3) = {1,3}
Д (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Имајте на уму да су бројеви на листи делитеља увек дељиви са бројем о коме је реч и то највиша вредност која се појављује на овој листи је сам број., јер ниједан број већи од њега неће бити дељив са њим.
На пример, у делиоцима 30, највећа вредност на овој листи је сама 30, јер ниједан број већи од 30 неће бити дељив с њом. Тако:
Д (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Знате више: Забавне чињенице о подели природних бројева
Власништво вишекратника и делитеља
Ова својства су повезана са подела између два цела броја. Имајте на уму да када је цели број вишекратник другог, он је такође дељив са тим другим бројем.
Сматра да је алгоритам поделе како бисмо боље разумели својства.
Н = д · к + р, где су к и р цели бројеви.
запамтите да Н. се зове од дивиденде;д, за преграду;к, за количник; и р, узгред.
→ Својство 1: Разлика између дивиденде и остатка (Н - р) је вишекратник делиоца или је број д делитељ (Н - р).
→ Својство 2: (Н - р + д) је вишекратник од д, односно број д је делитељ (Н - р + д).
Погледајте пример:
- Када вршимо дељење 525 са 8, добијамо количник к = 65, а остатак р = 5. Дакле, имамо дивиденду Н = 525 и делитељ д = 8. Погледајте да ли су својства задовољена јер је (525 - 5 + 8) = 528 дељиво са 8 и:
528 = 8 · 66
прости бројеви
ти прости бројеви су они који у свом списку имају као делитељ само број 1 и сам број. Да би се проверило да ли је број прост или не, један од нај тривијалнијих метода је навођење делитеља тог броја. Ако се појаве бројеви већи од 1 и број у питању, то није прост број.
→ Проверите који су прости бројеви између 2 и 20. За то, наведимо делиоце свих ових бројева између 2 и 20.
Д (2) = {1, 2}
Д (3) = {1,3}
Д (4) = {1, 2, 4}
Д (5) = {1, 5}
Д (6) = {1, 2, 3, 6}
Д (7) = {1, 7}
Д (8) = {1, 2, 4, 8}
Д (9) = {1, 3, 9}
Д (10) = {1, 2, 5, 10}
Д (11) = {1, 11}
Д (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Д (13) = {1, 13}
Д (14) = {1, 2, 7, 14}
Д (15) = {1, 3, 5, 15}
Д (16) = {1, 2, 4, 16}
Д (17) = {1, 17}
Д (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Д (19) = {1, 19}
Д (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Дакле, прости бројеви између 2 и 20 су:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19}
Имајте на уму да је овај сет из неких првих бројева, ова листа се наставља. Имајте на уму да што је број већи, то је теже рећи да ли је прост или није.
Опширније: Ирационални бројеви: они који се не могу представити разломцима
Вежбе решене
Питање 1 - (УМЦ-СП) Број елемената у скупу простих делитеља од 60 је:
а) 3
б) 4
ц) 5
д) 10
Решење
Алтернатива А.
Прво ћемо навести делиоце 60, а затим ћемо погледати који су прости.
Д (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Од ових бројева имамо главне:
{2, 3, 5}
Према томе, број главних делитеља од 60 је 3.
питање 2 - Запиши све природне бројеве мање од 100 и вишекратнике од 15.
Решење
Знамо да су вишекратници од 15 резултат множења броја 15 са свим целим бројевима. Пошто вежба тражи да напишемо природне бројеве мање од 100 и који су вишекратници од 15, морамо помножи 15 са свим бројевима већим од нуле, све док не нађемо највећи вишекратник пре 100, тако:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Према томе, природни бројеви мањи од 100 и вишекратници од 15 су:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
питање 3 - Који је највећи вишекратник 5 између 100 и 1001?
Решење
Да бисте одредили највећи вишекратник 5 између 100 и 1001, једноставно идентификујте први вишекратник 5 уназад.
1001 није вишекратник 5, јер нема целог броја који помножен са 5 резултира 1001.
1000 је вишекратник 5, јер је 1000 = 5 · 200.
Према томе, највећи умножак 5, између 100 и 1001, је 1000.
написао Робсон Луиз
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
