Збир термина аритметичке прогресије

Једно аритметичка прогресија (ПА) је а низ нумерички у коме је сваки члан збир претходног са константом, који се назива однос. Они постоје математички изрази да би се одредио рок ПА и израчунао збир његовог не први појмови.

Формула која се користи за израчунавање збир појмова коначног ПА или збира не први услови ПА су следећи:

с_не = у₁ + тхе_не)
2

* н је број БП термина; Тхе₁ је први термин, а_не је последња.

Порекло збира услова ПА

Каже се да је немачки математичар Царл Фриедерицх Гаусс, са приближно 10 година, био кажњен својим одељењем у школи. Учитељ је рекао ученицима да зброје све бројеве који се појављују у низ од 1 до 100.

Гаусс није само први завршио у врло кратком временском периоду, већ је и једини постигао прави резултат (5050). Даље, није показао никакве прорачуне. Он је поправио следећу имовину:

Збир два члана једнако удаљена од крајности коначног ПА једнак је збиру крајности.

Није било сазнања о ПАН у то време, али Гаусс је погледао листу бројева и схватио да ће додавање првог последњем резултирати 101; додајући друго претпоследњем, резултат би такође био 101 и тако даље. Као збир свих парова појмова

једнако удаљени од крајности дошло је до 101, Гаусс је тај број морао само помножити са половином расположивих термина да би пронашао резултат 5050.

Имајте на уму да од броја 1 до броја 100 постоји тачно 100 бројева. Гаусс је схватио да ће, ако их сабере два по два, добити 50 резултата једнаких 101. Стога је ово множење извршено за половину укупних чланова.

Демонстрација збира члана ПА

Из овог подвига настао је израз који се користи за израчунавање збир не први услови ПА. Тактика која се користила за постизање овог израза је следећа:

дао један ПАН било који, додаћемо првих н његових услова. Математички ћемо имати:

с_не = тхе₁ + тхе₂ + тхе₃ +… +_{н - 2} + тхе_{н - 1} + тхе_не

Одмах испод овога збир термина, написаћемо још један, са истим терминима као и претходни, али у опадајућем смислу. Имајте на уму да је збир појмова у првом једнак збиру појмова у другом. Стога су оба изједначена са С._не.

с_не = тхе₁ + тхе₂ + тхе₃ +… +_{н - 2} + тхе_{н - 1} + тхе_не

с_не = тхе_не + тхе_{н - 1} + тхе_{н - 2} +… +₃ + тхе₂ + тхе₁

Имајте на уму да су ова два израза добијена из једног ПАН и да су једнако удаљени појмови поравнати вертикално. Стога можемо додати изразе да бисмо добили:

с_не = тхе₁ + тхе₂ + тхе₃ +… +_{н - 2} + тхе_{н - 1} + тхе_не

+ с_не = тхе_не + тхе_{н - 1} + тхе_{н - 2} +… +₃ + тхе₂ + тхе₁

2С_не = (₁ + тхе_не) + (а₂ + тхе_{н - 1}) +… + (А_{н - 1} + тхе₂) + (а_не + тхе₁)

Запамтите да је збир појмова једнако удаљених од крајности једнак збиру крајности. Према томе, свака заграда може се заменити збиром крајности, као што ћемо учинити следеће:

2С_не = (₁ + тхе_не) + (а₁ + тхе_не) +... + (₁ + тхе_не) + (а₁ + тхе_не)

Гаусова идеја је била да додају једнако удаљене чланове низа. Тако је добио половину износа ПАН у резултатима 101. Направили смо тако да је сваки члан почетног БП додат својој једнако удаљеној вредности, чувајући своју број појмова. Дакле, како је ПА имала н чланова, можемо да променимо збир, у горенаведеном изразу, множењем и решимо једначина пронаћи:

2С_не = (₁ + тхе_не) + (а₁ + тхе_не) +... + (₁ + тхе_не) + (а₁ + тхе_не)

2С_не = н (а₁ + тхе_не)

с_не = у₁ + тхе_не)
2

То је тачно формула која се користи за додавање не први услови ПА.

Пример

С обзиром на П.А (1, 2, 3, 4), одредите збир првих 100 чланова.

Решење:

Морамо наћи термин а₁₀₀. За ово ћемо користити формула општег појма ПА:

Тхе_не = тхе₁ + (н - 1) р

Тхе₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

Тхе₁₀₀ = 1 + 99

Тхе₁₀₀ = 100

Сада формула за сабирање првих н појмова:

с_не = у₁ + тхе_не)
2

с₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

с₁₀₀ = 100(101)
2

с₁₀₀ = 10100
2

с₁₀₀ = 5050

Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm