ти природни бројеви су били први нумерички скуп који је историјски узет у обзир. Појавили су се из треба рачунати људског бића. Скуп природних бројева као елементе има позитивни бројеви и цели бројеви, као што су 1, 2, 3, 4,…. Овај сет има операције сабирања, одузимање, множење, дељење, потенцирање и радикације.
Шта су природни бројеви?
природни бројеви су бројеви строго позитивно који немају зарез, односно представљају величине целина. Скуп природних бројева може се представити на следећи начин:
Скуп природних бројева је а бесконачан скуп, то јест, с обзиром на било који природни број, постоји бар један број већи од њега. Погледајте неке примере елемената који припадају и не припадају овом скупу.
Из горњег примера имамо да број 10, 2 и 100 припадају природном скупу, а бројеви 1,65, –2 и 0 не припадају природном скупу.
Прочитајте и ви: Забавне чињенице о подели природних бројева
Наследник природног броја
Као што смо горе рекли, скуп природних бројева је бесконачан скуп, односно дат је било који број
не природно, увек постоји н + 1, такође природно. Број н + 1 назива се наследником н. Да би се одредио наследник било ког природног броја, само додати 1 на тај број. Као пример, одредимо наследнике бројева 3, 1, 5 и 2п + 1.Наследник броја 3 дат је са 3 + 1, односно бројем 4. Слично томе, наследници 1 и 5 су, односно, 2 и 6. Следећи дефиницију наследника, имајмо да је наследник 2п + 1 2п + 1 + 1, односно 2п + 2.
Дефиницијом наследника постаје јаснија идеја да је скуп природних бројева бесконачан, јер је увек могуће пронаћи било ког наследника природног броја.
Предак природног броја
Претходник природног броја не је онај који претходи овом броју не. Можемо да напишемо претходник не као н - 1. Као пример, одредимо претходнике бројева 2, 5, 1000 и 2п + 1.
Претходник 2 дат је са 2 - 1, дакле, то је број 1. Слично томе, претходници броја 5 и 1000 су бројеви 4 и 999. Претходник броја 2п + 1 је 2п + 1 - 1, односно претходник 2п +1 је број 2п.
Важно је то рећи нема сваки природни број претходника, је случај броја 1. Примењујући дефиницију претка, имамо да је претходник броја 1 1 - 1 = 0, али број нула не припада природним бројевима. Према томе, сваки природни број има претходника, са изузетком броја 1. Из тог разлога, број 1 назива се минималним елементом природних састојака, односно најмањи је природни број. Ове податке можемо написати овако:
Подскуп природних бројева
Знамо да скуп природних бројева чине строго позитивни бројеви, односно бројеви већи од нуле. Из теорије о сетови, имамо то, с обзиром на скупове А и Б, то кажемо Б је подскуп А, ако је сваки елемент Б елемент А, односно Б је садржан у А (Б ⸦ А).
Дакле, било који скуп формиран природним бројевима биће подскуп природних бројева. Погледајте неке примере:
Размотрите скупове:
А = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
Б = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
Ц = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
Д = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Скупови А, Б и Ц су подскупови природних бројева, јер су сви елементи ових скупова такође елементи природних, то јест, можемо рећи да:
Сада погледајте скуп Д. Имајте на уму да у овом скупу не припада сваки елемент скупу природних бројева. То је случај са бројем 0. Према томе, Д. није подскуп природних бројева, односно Д није садржан у скупу природних. Ову чињеницу означавамо на следећи начин:
Прочитајте такође: Прости бројеви: шта су они и како их пронаћи?
чак и природни бројеви
Кажемо да је број чак и ако је вишекратник броја 2, што је еквивалентно речи да је овај број дељив са 2. Погледајте:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Пошто је скуп природних бројева бесконачан, такав је и скуп парних бројева. Такође имајте на уму да је сваки елемент скупа парних бројева уједно и елемент природних бројева, а самим тим и скуп парни бројеви су подскуп природних..
Погледај:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Скуп парних бројева може се добити множењем свих природних бројева бројем 2. Па с обзиром на природан број не, можемо да напишемо паран број помоћу израза 2н, тако да скуп парних бројева уопште можемо записати:
Као пример, сазнајмо да ли су бројеви 1000, 2098 и 55 парови.
Пошто је 1000 = 2 500 и 2098 = 2 1049, они су чак и зато што постоји природни број који их помножен са 2 даје. Сада 55 није ни парно, јер не постоји природни број који помножен са 2 резултира 55. Погледајте:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Као што добро знамо, не постоји природни број између 27 и 28, па 55 није ни паран.
Непарни природни бројеви
Број је непаран ако није паран, односно када није вишеструк нити дељив са 2. Дакле, скуп непарни природни бројеви су природни бројеви који нису вишекратници од 2. Овај скуп се може написати на следећи начин:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Аналогно ономе што смо урадили у скупу парних бројева, имамо:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Скуп непарних бројева може се добити множењем све природне бројеве са 2 и сабирањем 1. с обзиром на природан број не било који, можемо написати било који непаран број користећи израз 2н + 1. Уопштено говорећи, скуп непарних бројева представљамо:
Имајте на уму да је скуп непарних бројева такође бесконачан, јер да бисмо добили непарне бројеве множимо природне бројеве са 2, а затим додајемо 1. Из тог разлога, скуп непарних бројева је такође подскуп природних вредности., јер је сваки елемент овог скупа такође елемент природних.
Погледајте такође: Својства парног и непарног броја
Вежбе решене
Питање 1 - Наведите само природне бројеве бројева наведених у наставку:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 и 98,765
Решење
Знамо да скуп природних бројева чине строго позитивни бројеви који немају зарез, па су природни бројеви на листи: 1, 2 и 98.765.
питање 2 - Узимајући у обзир општи облик парног броја, да ли је тачно да је, додавањем два парна броја, резултат и даље паран? Исто важи и за непарне бројеве?
Решење
Знамо да се паран број уопште може написати множењем било ког природног броја са 2. Размотримо два различита природна броја, 2н и 2м, где м и не било који природни број, збир два се одређује према:
2н + 2м
Доказујући број 2, имамо:
2 · (н + м)
Као не и м су два природна броја, њихов збир је такође, па је н + м = к, где к природан број.
2 · (н + м)
2 · к
Према томе, збир два парна природна броја уједно је и паран број, јер је збир резултирао вишекратником од 2.
Сада знамо да се непаран број даје множењем природног броја са 2 доданом броју 1. Сада размотрите два различита непарна броја, 2н +1 и 2м + 1, са м и не природни. Збрајањем ових бројева имамо:
2н + 1 + 2м +1
2н + 2м +2
Поново стављајући број 2 у доказе, имамо:
2 (н + м + 1)
Имајте на уму да је н + м + 1 природан број и можемо га представити са п, тј. н + м + 1 = п, ускоро:
2 ·(н + м + 1)
2 · П.
Имајте на уму да је резултат додавања два непарна броја резултирао вишекратником од 2, то јест паром. Према томе, збир два непарна броја је паран број.
Питање 3 - (Тендер / Преф. из Итабораи) Количник између два природна броја је 10. Множењем дивиденде са 5 и смањењем делитеља на пола, количник новог делања биће:
а) 2
б) 5
ц) 25
г) 50
д) 100
Решење
Према изјави, количник (подела) између два природна броја је 10. Будући да још увек не знамо који су то бројеви, дајмо им имена м и не, онда:
Сада, множењем дивиденде са 5 и смањењем делитеља на пола, имамо:
Извођење подела разломака и замењујући вредност од м, имаћемо:
Одговорити: Алтернатива е.
написао Робсон Луиз
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
