До операције са скуповима они су унија, пресек и разлика. Резултат сваке од ових операција је нови скуп. Да бисмо означили унију између скупова, користимо симбол ∪; за пресек, симбол ∩; а за разлику симбол одузимање\(-\). У случају разлике, неопходно је пратити редослед којим ће се операција извршити. Другим речима, ако су А и Б скупови, онда је разлика између А и Б другачија од разлике између Б и А.
Прочитајте такође: Венов дијаграм — геометријски приказ скупова и операција између њих
Резиме операција са скуповима
Операције са скуповима су: унија, пресек и разлика.
Унија (или састанак) скупова А и Б је скуп А ∪ Б, формиран од елемената који припадају А или припадају Б.
\(А∪Б=\{к; к∈А\ или\ к∈Б\}\)
Пресек скупова А и Б је скуп А ∩ Б, формиран од елемената који припадају А и припадају Б.
\(А∩Б=\{к; к∈А\ и\ к∈Б\}\)
Разлика између скупова А и Б је скуп А – Б, формиран од елемената који припадају А, а не припадају Б.
\(А -Б =\{к; к∈А\ е\ к ∈Б\}\)
Ако је У (познат као универзум скуп) скуп који садржи све скупове у датом контексту, онда се разлика У – А, са А ⊂ У, назива комплементом А. Комплемент А формирају елементи који не припадају А и представљен је са
Ав.
\(А^ц=У-А=\{к; к∈А\}\)
Видео лекција о операцијама са скуповима
Које су три операције са скуповима?
Три операције са сетовима су: унија, пресек и разлика.
Унија скупова
Унија (или састанак) скупова А и Б је скуп А ∪ Б (читај „Унија Б“). Овај скуп се састоји од свих елемената који припадају скупу А или припадају скупу Б, односно елементи који припадају бар једном од скупова.
Представљајући елементе А ∪ Б са к, пишемо
\(А∪Б=\{к; к∈А\ или\ к∈Б\}\)
На слици испод, наранџасти регион је комплет А ∪Б.
Изгледа тешко? Погледајмо два примера!
Пример 1:
Колики је скуп А ∪ Б, ако је А = {7, 8} и Б = {12, 15}?
Скуп А ∪ Б формирају елементи који припадају А или припадају Б. Пошто елементи 7 и 8 припадају скупу А, онда оба морају припадати скупу А ∪ Б. Даље, како елементи 12 и 15 припадају скупу Б, онда оба морају припадати скупу А ∪ Б.
дакле,
А ∪ Б={7, 8, 12, 15}
Имајте на уму да сваки од елемената А∪Б припада или скупу А или скупу Б.
Пример 2:
Размотримо скупове А = {2, 5, 9} и Б = {1, 9}. Шта је скуп А ∪ Б?
Пошто елементи 2, 5 и 9 припадају скупу А, онда сви морају припадати скупу А∪Б. Даље, пошто елементи 1 и 9 припадају скупу Б, онда сви морају припадати скупу А ∪ Б.
Имајте на уму да смо два пута поменули 9, пошто овај елемент припада скупу А и скупу Б. Рекавши да је „скуп А ∪ Б формиран од елемената који припадају А или припадају Б” не искључује елементе који истовремено припадају скуповима А и Б.
Дакле, у овом примеру имамо
А ∪ Б={1, 2, 5, 9}
Имајте на уму да елемент 9 пишемо само једном.
Пресек скупова
Пресек скупова А и Б је скуп А ∩ Б (читај „Пресек Б“). Овај скуп се састоји од свих елемената који припадају скупу А То је припадају скупу Б. Другим речима, А ∩ Б састоји се од заједничких елемената скупова А и Б.
Означавајући елементе А ∩ Б са к, пишемо
\(А∩Б=\{к; к∈А\ и\ к∈Б\}\)
На слици испод, наранџасти регион је комплет А ∩Б.
Хајде да решимо два примера о пресеку скупова!
Пример 1:
Узмите у обзир А = {-1, 6, 13} и Б = {0, 1, 6, 13}. Шта је скуп А ∩ Б?
Скуп А ∩ Б чине сви елементи који припадају скупу А То је припадају скупу Б. Имајте на уму да елементи 6 и 13 истовремено припадају скуповима А и Б.
Овако,
А ∩ Б={6, 13}
Пример 2:
Колики је пресек између скупова А = {0,4} и \(Б={-3,\фрац{1}2,5,16,44}\)?
Имајте на уму да нема заједничког елемента између скупова А и Б. Дакле, пресек је скуп без елемената, односно празан скуп.
дакле,
\(\)А ∩ Б={ } = ∅
Разлика између скупова
Разлика између скупова А и Б је скуп А – Б (читај „разлика између А и Б“). Овај сет се састоји од сви елементи који припадају скупу А а не припадају скупу Б.
Приказујући елементе А – Б помоћу к, пишемо
\(А-Б=\{к; к∈А\ и\ к∈Б\}\)
На слици испод, наранџасти регион је сетА – Б.
пажња: разлика између скупова А и Б није разлика између скупова Б и А, јер Б – А чине сви елементи који припадају скупу Б а не припадају скупу А.
Размотрите два примера у наставку о разлици између скупова.
Пример 1:
Ако је А = {-7, 2, 100} и Б = {2, 50}, шта је онда скуп А – Б? Шта је са скупом Б – А?
КомплетА-Б састоји се од свих елемената који припадају скупу А То јене припадају скупу Б. Имајте на уму да је 2 једини елемент у скупу А који такође припада скупу Б. Дакле, 2 не припада скупу А – Б.
дакле,
А – Б = {-7, 100}
Даље, скуп Б – А чине сви елементи који припадају скупу Б То јене припадају скупу А. дакле,
Б – А = {50}
Пример 2:
Која је разлика између скупа А = {–4, 0} и скупа Б = {–3}?
Имајте на уму да ниједан од елемената А не припада Б. Дакле, разлика А – Б је сам скуп А.
\(А - Б = \{-4.0\} = А\)
запажање: Узмите у обзир да је У (који се назива универзум скуп) скуп који садржи све остале скупове у датој ситуацији. Овако, разлика У–А, са А⊂У, је скуп који се назива комплементаран са А и приказан као \(ПРЕ НОВЕ ЕРЕ\).
\(А^ц=У-А=\{к; к∈А\}\)
На следећој слици, правоугаоник је скуп универзума, а наранџасти регион је скуп универзума \(ПРЕ НОВЕ ЕРЕ\).
Знате више: Корак по корак како направити поделу
Решене вежбе над скупним операцијама
Питање 1
Размотрите скупове А = {–12, –5, 3} и Б = {–10, 0, 3, 7} и класификујте сваки исказ у наставку као Т (тачно) или Ф (нетачно).
И. А ∪ Б = {–12, –10, –5, 3, 7}
ИИ. А ∩ Б = {3}
ИИИ. А – Б = {–12, –5}
Тачан редослед, од врха до дна је
А) В-В-В
Б) Ф-В-В
Ц) В-Ф-В
Д) Ф-Ф-В
Е) Ф-Ф-Ф
Резолуција
И. Фалсе.
Елемент 0 мора припадати унији А и Б, пошто је 0 ∈ Б. Дакле, А ∪ Б = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
ИИ. Истина.
ИИИ. Истина.
Алтернатива Б.
Питање 2
Узмимо А = {4, 5}, Б = {6,7} и Ц = {7,8}. Тада је скуп А ∪ Б ∩ Ц
А) {7}.
Б) {8}.
Ц) {7, 8}.
Д) {6,7,8}.
Е) {4, 5, 6, 7, 8}.
Резолуција
Приметимо да је А ∪ Б = {4, 5, 6, 7}. Дакле, скуп А ∪ Б ∩ Ц је пресек између А ∪ Б = {4, 5, 6, 7} и Ц = {7,8}. Ускоро,
А ∪ Б ∩ Ц = {7}
Алтернатива А.
Извори
ЛИМА, Илон Л.. Курс анализе. 7 ед. Рио де Жанеиро: ИМПА, 1992. в.1.
ЛИМА, Илон Л. ет ал. Математичка гимназија. 11. ед. Збирка за наставнике математике. Рио де Жанеиро: СБМ, 2016. в.1.
