А искоренити То је математичка операција, баш као сабирање, одузимање, множење, дељење и потенцирање. На исти начин на који је одузимање инверзна операција сабирања, а дељење инверзна операција множења, зрачење је инверзна операција потенцирања. Дакле, за реалне позитивне к и и и цео број н (већи или једнак 2), ако је к подигнуто на н једнако и, можемо рећи да је н-ти корен од и једнак к. У математичкој нотацији: \(к^н=и\Стрелица десно\скрт[н]{и}=к\).
Прочитајте и:Потенцирање и зрачење разломака — како то учинити?
Резиме о роот-у
Роотификација је математичка операција.
Радицијација и потенцирање су инверзне операције, односно за позитивне к и и, \(к^н=и\Стрелица десно\скрт[н]{и}=к\).
Израчунавање н-тог корена броја и значи проналажење броја к тако да је к подигнуто на н једнако и.
Читање корена зависи од индекса н. Ако је н = 2, називамо га квадратним кореном, а ако је н = 3, називамо га кубним кореном.
У операцијама са радикалима користимо термине са истим индексом.
Радицијација има важна својства која олакшавају његово израчунавање.
Видео лекција о роот-у
Представљање корена
Да представља навијање, морамо узети у обзир три укључена елемента: корен, индекс и корен. Симбол \(√\) назива се радикалом.
\(\скрт[н]{и}=к\)
У овом примеру, и је радикал, н је индекс и к је корен. Пише „н-ти корен од и је к“. Док к и и представљају позитивне реалне бројеве, н представља цео број једнак или већи од 2. Важно је напоменути да се за н = 2 индекс може изоставити. Тако, на пример, \(\скрт[2]{9}=\скрт9\).
Можемо представити зрачење користећи радикал са фракционим експонентом. Формално кажемо да је н-ти корен од \(и^м\) може бити записано као и подигнуто на разломак експонента \(\фрац{м}н\).
\(\скрт[н]{и^м}=и^\фрац{м}{н}\)
Погледајте примере:
\(√5=5^\фрац{1}{2}\)
\(\скрт[3]{2^4}=2^\фрац{4}{3}\)
Разлике између зрачења и потенцирања
Потенцирање и зрачење су инверзне математичке операције. То значи да ако \(к^н=и\), онда \(\скрт[н]{и}=к\). Изгледа тешко? Погледајмо неке примере.
Ако \(3^2=9\), онда \(\скрт[2]{9}=3\).
Ако \(2^3=8\), онда \(\скрт[3]{8}=2\).
Ако \(5^4=625\), онда \(\скрт[4]{625}=5\).
Како читати роот?
Да прочитам корен, морамо узети у обзир индекс н. Ако је н = 2, називамо га квадратним кореном. Ако је н = 3, називамо га кубним кореном. За вредности од н већи, користимо номенклатуру за редне бројеве: четврти корен (ако је н = 4), пети корен (ако је н = 5) и тако даље. Погледајте неке примере:
\(\скрт[2]{9}\) – квадратни корен од 9.
\(\скрт[3]{8}\) – кубни корен од 8.
\(\скрт[4]{625}\) – четврти корен од 625.
Како израчунати корен броја?
У наставку ћемо видети како израчунати корен позитивног реалног броја. За израчунавање корена броја, морамо размотрити сродну инверзну операцију. То јест, ако тражимо н-ти корен броја и, морамо тражити број к такав да \(к^н=и\).
У зависности од вредности и (односно радикала), овај процес може бити једноставан или напоран. Погледајмо неколико примера како израчунати корен броја.
Пример 1:
Колики је квадратни корен од 144?
Резолуција:
Назовимо број који тражимо к, тј. \(\скрт{144}=к\). Имајте на уму да ово значи тражити број к такав да \(к^2=144\). Хајде да тестирамо неке могућности са природним бројевима:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
дакле, \(\скрт{144}=12\).
Пример 2:
Колики је кубни корен од 100?
Резолуција:
Назовимо број који тражимо к, тј. \(\скрт[3]{100}=к\). То значи да \(к^3=100\). Хајде да тестирамо неке могућности:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Имајте на уму да тражимо број који је између 4 и 5, као \(4^3=64\) То је \(5^3=125\). Дакле, хајде да тестирамо неке могућности са бројевима између 4 и 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Као \(4,6^3 \) је број близу и мањи од 100, можемо рећи да је 4,6 апроксимација кубног корена од 100. дакле, \(\скрт[3]{100}≈4,6\).
Важно:Када је корен рационалан број, кажемо да је корен тачан; иначе, корен није тачан. У горњем примеру одређујемо опсег између тачних корена где се тражени корен налази:
\(\скрт[3]{64}
\(4
Ова стратегија је веома корисна за израчунавање апроксимација корена.
Операције са радикалима
У операцијама са радикалима користимо термине са истим индексом. Имајући то у виду, пажљиво прочитајте следеће информације.
→ Сабирање и одузимање између радикала
Да бисмо решили сабирање или одузимање између радикала, морамо израчунати корен сваког радикала посебно.
Примери:
\(\скрт[3]{27}+\скрт[3]{216}=3+6=9\)
\(\скрт{400}-\скрт{169}=20-13=7\)
Важно: Није могуће оперисати радикале у операцијама сабирања и одузимања. Имајте на уму да, на пример, операција \(\скрт4+\скрт9\) резултира другачијим бројем \(\скрт{13}\), чак и ако \(4+9=13\).
\(\скрт4+\скрт9=2+3=5\)
\(\скрт{13}≈3,6\)
→ Множење и дељење између радикала
Да бисмо решили множење или дељење између радикала, можемо израчунати корен сваког радикала посебно, али можемо користити и својства зрачења, која ћемо видети у наставку.
Примери:
\(\скрт{121}⋅\скрт{49}=11⋅49=539\)
\(\скрт[3]{512}÷\скрт[3]{64}=8÷4=2\)
Која су својства зрачења?
→ Својство 1 зрачења
Ако је и позитиван број, онда је н-ти корен од \(и^н\) је једнако и.
\(\скрт[н]{и^н}=и\)
Погледајте пример:
\(\скрт[3]{2^3}=\скрт[3]{8}=2\)
Ово својство се широко користи за поједностављење израза са радикалима.
→ Својство 2 зрачења
н-ти корен производа \(и⋅з\) једнак је производу н-тог корена од и и з.
\(\скрт[н]{и\цдот з}=\скрт[н]{и}\цдот \скрт[н]{з}\)
Погледајте пример:
\(\скрт{36 ⋅ 196}=\скрт{36}⋅\скрт{196}=6⋅14=84\)
Важно: Када израчунамо корен великог броја, то је веома корисно фактор (декомпоновати) радикал на просте бројеве и примени својства 1 и 2. Погледајте следећи пример у којем желимо да израчунамо \(\скрт{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Овако,
\(\скрт{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\скрт{2^2}⋅\скрт{2^2}⋅\скрт{2^2}⋅\скрт{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Својство 3корења
Н-ти корен количника \(\фрац{и}з\), са \(з=0\), једнак је количнику н-тог корена од и и з.
\(\скрт[н]{\фрац{и}{з}}=\фрац{\скрт[н]{и}}{\скрт[н]{з}}\)
Погледајте пример:
\(\скрт[а]{\фрац{125}{64}}=\фрац{\скрт[3]{125}}{\скрт[3]{64}}=\фрац{5}4\)
→ Својство 4 зрачења
Н-ти корен од и подигнут на експонент м једнак је н-том корену од \(и^м\).
\((\скрт[н]{и})^м=\скрт[н]{и^м}\)
Погледајте пример:
\((\скрт[3]{8})^2=\скрт[3]{8^2}=\скрт[3]{64}=4\)
Погледајте такође: Која су својства потенцирања?
Решене вежбе о зрачењу
Питање 1
(ФГВ) Поједностављивање \(2\скрт3+2\скрт12-2\скрт{75}\), добијате:
А) 0
Б) - 23
Ц) - 43
Д) - 63
Д) - 83
Резолуција:
Алтернатива Ц.
Имајте на уму да користећи својства зрачења имамо
\(2\скрт{12}=2⋅\скрт{3⋅ 4}=2⋅\скрт3⋅\скрт4=2⋅\скрт3⋅2=4\скрт3\)
\(2\скрт{75}=2⋅\скрт{25⋅3}=2⋅\скрт{25}⋅\скрт3=2⋅5⋅\скрт3=10\скрт3\)
Дакле, израз исказа можемо преписати као
\(2\скрт3+4\скрт3-10\скрт3\)
Стављајући термин \(\скрт3\) доказа, закључујемо да
\(2\скрт3+4\скрт3-10\скрт3=(2+4-10)⋅\скрт3=-4\скрт3\)
Питање 2
(Цефет) Којим бројем треба помножити број 0,75 тако да квадратни корен добијеног производа буде једнак 45?
А) 2700
Б) 2800
Ц) 2900
Д) 3000
Резолуција:
Алтернатива А.
Тражени број је к. Тако, према саопштењу,
\(\скрт{0,75⋅к}=45\)
дакле,
\(0,75⋅к=45^2\)
\(0,75⋅к=2025\)
\(к=\фрац{2025}{0,75}\)
\(к = 2700\)
