Познат је као рационалан број сваки број који може се представити као несводива фракција. Током људске историје идеја о броју се постепено развијала у складу са људским потребама. Представљање бројева у разломцима, на пример, решавало је задатке који су решавани само помоћу цели бројеви.
Рационалан број може се представити из разломка, па постоје методе за трансформисање целих бројева, децимални бројеви тачне и периодичне децимале у разломцима.
Прочитајте такође: Операције са разломцима - како решити?
Шта су рационални бројеви?
Рационални бројеви су продужетак скупа целих бројева, затим су, поред целих бројева, додати све разломке. О. комплет рационалних бројева представљен је са:
Ово што каже ова презентација је да је број рационалан ако се може представити као разломак Тхе О томе Б., тако да Тхе је цео број и Б. је цео број који није нула. Али ако желимо да рационалније бројеве дефинишемо мање ригорозно, можемо рећи следеће:
Рационални бројеви су сви бројеви који се могу представити као разломак. |
Упознајте ову дефиницију:
ти цели бројевис, на пример: -10, 7, 0;
ти тачни децимални бројеви, на пример: 1,25; 0,1; 3,1415;
у једноставне периодичне десетине, на пример: 1.424242…;
у сложена периодична десетина, на пример: 1.0288888…
Не су рационални бројеви:
У непериодична десетина, на пример: 4,1239489201…;
У корењеније тачно, на пример:
;- ТХЕ жабаиз квадрат од негативни бројеви, на пример:
.
Посматрање: Постојање нерационалних бројева доводи до појаве других скупова, као што су ирационални бројеви и комплексни бројеви.
Представљање рационалних бројева
Разумевање да је разломак а подела два цела броја, да буде рационалан број, овај број можете представити као разломак. Према томе, сваки горе поменути случај као рационални број (цели бројеви, тачни децимали и периодични децимали) може се представити као разломак.
цели бројеви
Бескрајне су могућности за представљање целог броја као разломка, јер разломак може бити представљен у несводивом облику или не.
Примери:
тачне децимале
Да бисте тачан децимални број претворили у разломак, бројимо број бројева у његовом децималном делу, односно после децималне тачке. Ако иза зареза стоји број, написаћемо целобројни део плус децимални део без зареза преко 10. Ако постоје два броја у децималном делу преко 100, у пракси ће износ бројева у децималном делу бити количина нула које имамо у називнику. Погледајте пример:
периодична десетина
Проналажење делимичног представљања десетине није увек лак задатак, оно што ми зовемо генеришући фракцију. Да би се олакшао овај рад, примећено је да у једначини помоћу које смо пронашли генеришућу фракцију постоје законитости које су омогућиле развој практичне методе.
Прво, морамо схватити да постоје две врсте периодичне десетине, једноставна и сложена. Једно десетина је једноставна ако у његовом децималном делу постоји само онај део који се понавља, односно тачка. Једно десетина је сложена ако у његовом децималном делу постоји непериодични део.
Пример:
9,323232… → једноставна периодична децимала
Цео број је једнак 9.
Период је једнак 32.
8,7151515… → сложена периодична десетина
Цео број је једнак 8.
Непериодични децимални део је једнак 7.
Период је једнак 15.
Погледајте такође: Еквивалентне фракције - фракције које представљају исту количину
→ 1. случај: генерисање разломка једноставне периодичне децимале
У првом случају, да претворити једноставну периодичну децималу у разломак практичном методом, у нумератор само напиши цео део плус тачку без зареза. У именитељ, за сваки елемент у периодичном делу додајемо 9.
Пример:
Генерирајући разломак од 9.323232…, као што смо видели, има период једнак 32, односно два броја у свом периоду, па је називник 99. Целобројни део плус периодични део без зареза је 932, што је нумератор. Дакле, генерирајући део ове десетине је:
→ 2. случај: генерисање разломка сложене периодичне децимале
Периодична композитна десетина је мало мучнија. Пронађимо у примеру генеришућу фракцију десетине на којој смо радили.
8,7151515… → сложена периодична децимала.
Цео број је једнак 8.
Непериодични децимални део је једнак 7.
Децимални део периода једнак је 15.
Бројилац ће бити одузимање 8715 - 87, односно разлика између броја који иде од целог дела до периодичног са непоновљивим делом десетине.
Бројилац ће бити једнак 8715 - 87 = 8628.
Да бисмо пронашли називник, анализирајмо децимални део. Прво погледајмо непериодични и периодични децимални део. У овом случају, децимални део броја је 715. За сваки број који се налази у периодичном делу, додајте а 9 на почетку називника. Будући да периодични део у овом случају има два броја (15), у имениоцу ће бити два 9. За сваки број у децималном делу који није периодичан додаћемо а 0 на крају називника, који ће бити 990.
Ускоро, генеришући фракцију десетине ће бити:
Особине рационалних бројева
Између два рационална броја, увек ће постојати још један рационални број
Занимљиво је размишљати о томе како је ово својство, о којем су много говорили древни народи, постало парадокс. Одабиром два рационална броја, између њих ће увек бити број.
Пример:
Између 1 и 2 постоји 1,5; између 1 и 1,5, постоји 1,25; између 1 и 1,25, постоји 1,125 и тако даље. Колико год одабрао два рационална броја са врло малом разликом између њих, увек је могуће пронаћи рационални број између њих. Ова својина чини немогуће дефинисати наследника и претходника у рационалним бројевима.
Четири операције на скупу рационалних бројева су затворене
Кажемо да је скуп затворен за сума, на пример, ако збир два рационална броја увек генерише други рационални број као одговор. То се дешава са четири операције на К.
ТХЕ сабирање, одузимање, дељење и множење између два рационална броја ће увек резултирати рационалним бројем. У ствари, чак и потенцирање рационалног броја ће увек генерисати рационални број као одговор.
Скуп рационалних бројева није затворено за радикације. Тако, мпошто је 2 рационалан број, квадратни корен из 2 је а ирационални број.
Погледајте такође: Еквивалентне фракције - фракције које представљају исту количину
Подскупови рационалних бројева
Ми знамо како подскупови или релација укључивања скупови које чине елементи који припадају скупу рационалних бројева. Постоји неколико могућих подскупова, као скуп целих бројева или природни, јер је рационалан сваки цео број, као што је рационалан и сваки природни број.
Пример:
Скуп целих бројева: З = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Кад се то догоди, ми то кажемо З ⸦ К (Чита се: З је садржан у К или је скуп целих бројева садржан у скупу рационалних бројева.)
Постоје неки симболи који су од суштинског значаја за стварање подскупова К, а то су: +, - и *, што значи позитивно, негативно и не-нулл.
Примери:
К * → (чита: скуп рационалних бројева који нису нула.)
К+ → (чита: скуп позитивних рационалних бројева.)
К- → (чита: скуп негативних рационалних бројева.)
К*+ → (чита: скуп позитивних и ненула рационалних бројева.)
К*- → (чита: скуп негативних и ненула рационалних бројева.)
Имајте на уму да су сви ови скупови подскупови К, јер сви елементи припадају скупу рационалних бројева. Поред представљених скупова, у К можемо радити са неколико подскупова, као што је скуп формиран непарним бројевима или рођаци, или парови, коначно, постоји неколико и неколико могућности подскупова.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm