Ми знамо како полином израз који указује на алгебарски збир монома који нису слични, односно полином је једно алгебарски израз између монома. Мономиум је алгебарски појам који има коефицијент и дословни део.
Када постоје слични појмови између полинома, могуће је извршити смањење његових услова сабирање и / или одузимање два полинома. Такође је могуће множити два полинома кроз дистрибутивно својство. Подела се врши методом кључева.
Прочитајте такође: Полиномска једначина - Једначина коју карактерише полином једнак 0
Шта су мономи?
Да би се разумело шта је полином, важно је прво разумети значење монома. Алгебарски израз познат је под називом мономијум бројеви и слова и њихови експоненти одвојено само множењем. Број је познат као коефицијент, а слова и њихови експоненти познати су као дословни део.
Примери:
2к² → 2 је коефицијент; к² је дословни део.
√5ак → √5 је коефицијент; секира је дословни део.
б³из² → 1 је коефицијент; б³из² је дословни део.
Шта је полином?
Полином није ништа друго до алгебарски збир монома, односно то су више мономи одвојени сабирањем или одузимањем једни од других.
Примери:
ак² + за + 3
5ц³д - 4аб + 3ц²
-2аб + б - 3ка
Уопштено говорећи, полином може имати неколико чланова, алгебарски је представљен са:
ТхенеИксне + тхе(н-1) Икс(н-1) +… +2к² + а1к + а
Погледајте такође: Које су класе полинома?
степен полинома
Да бисмо пронашли степен полинома, раздвојимо га у два случаја, када има једну променљиву и када има више променљивих. Степен полинома дат је са степен највећих својих монома у оба случаја.
Сасвим је уобичајено радити са полиномом који има само једну променљиву. Када се то догоди, О. већи мономијум степена што указује на степен полинома је једнако највећем експоненту променљиве:
Примери:
Једноструки променљиви полиноми
а) 2к² - 3к³ + 5к - 4 → имајте на уму да је променљива к, а највећи експонент који има 3, па је ово полином 3 степена.
б) 2и5 + 4и² - 2и + 8 → променљива је и, а највећи експонент је 5, па је ово полином степена 5.
Када полином има више променљивих у моному, неопходно је пронаћи степен овог појма додати-ако степен експонената сваке од променљивих. Дакле, степен полинома, у овом случају, и даље је једнак степену највећег монома, али је неопходно водити рачуна о сабирању експонената променљивих сваког монома.
Примери:
а) 2ки + 4к²и³ - 5и4
Анализирајући дословни део сваког појма, морамо:
ки → оцена 2 (1 + 1)
к²и³ → степен 5 (2 + 3)
и³ → оцена 3
Имајте на уму да највећи члан има степен 5, па је ово полином степена 5.
б) 8а²б - аб + 2а²б²
Анализирајући дословни део сваког монумија:
а²б → оцена 3 (2 + 1)
аб² → степен 2 (1 + 1)
а²б² → оцена 4 (2 + 2)
Дакле, полином има степен 4.
Сабирање полинома
До сабирање између два полинома, хајде да изведемо смањење сличних монома. Два монома су слична ако имају једнаке дословне делове. Када се то догоди, могуће је поједноставити полином.
Пример:
Нека су П (к) = 2к² + 4к + 3 и К (к) = 4к² - 2к + 4. Наћи вредност П (к) + К (к).
2к² + 4к + 3 + 4к² - 2к + 4
Проналажење сличних појмова (који имају исте дословне делове):
2к² + 4к + 3 + 4к² – 2к + 4
Сад додамо сличне монома:
(2 + 4) к² + (4-2) к + 3 + 4
6к² + 2к +7
Полиномско одузимање
Одузимање се не разликује много од сабирања. Важан детаљ је тај прво треба да напишемо супротни полином пре него што извршимо поједностављење сличних појмова.
Пример:
Подаци: П (к) = 2к² + 4к + 3 и К (к) = 4к² - 2к + 4. Израчунати П (к) - К (к).
Полином -К (к) је супротан К (к), да бисмо пронашли супротност К (к), само преокренимо знак сваког од његових чланова, тако да морамо:
-К (к) = -4к² + 2к - 4
Тада ћемо израчунати:
П (к) + (-К (к))
2к² + 4к + 3 - 4к² + 2к - 4
Поједностављујући сличне појмове, имамо:
(2 - 4) к² + (4 + 2) к + (3 - 4)
-2к² + 6к + (-1)
-2к² + 6к - 1
Множење полинома
Да бисмо извршили множење два полинома, користимо познато дистрибутивност између два полинома, оперишући множење монома првог полинома оним другог.
Пример:
Нека су П (к) = 2а² + б и К (к) = а³ + 3аб + 4б². Израчунати П (к) · К (к).
П (к) · К (к)
(2а² + б) (а³ + 3аб + 4б²)
Применом дистрибутивног својства имаћемо:
2а² · а³ + 2а² · 3аб + 2а² · 4б² + б · а³ + б · 3аб + б · 4б²
2нд5 + 6а³б + 8а²б² + а³б + 3аб² + 4б³
Ако постоје, можемо поједноставити сличне изразе:
2нд5 + 6а³б + 8а²б² + аб + 3аб² + 4б³
Имајте на уму да су једини слични мономи истакнути наранџасто, поједностављујући између њих, као одговор имаћемо следећи полином:
2нд5 + (6 + 1) а³б + 8а²б² + 3аб² + 4б³
2нд5 + 7а³б + 8а²б² + 3аб² + 4б³
Такође приступите: Како се врши множење алгебарских разломака?
полиномска подела
извршити подела полинома може бити прилично напоран, користимо оно што се зове метод кључева, али за то постоји неколико метода. Подела два полинома могуће је само ако је степен делитеља мањи. Дијељењем полинома П (к) са полиномом Д (к), тражимо полином К (к), такав да:
Дакле, алгоритмом дељења имамо: П (к) = Д (к) · К (к) + Р (к).
П (к) → дивиденда
Д (к) → делилац
К (к) → количник
Р (к) → остатак
Када се управља дељењем, полином П (к) је дељив са полиномом Д (к) ако је остатак нула.
Пример:
Оперишемо дељењем полинома П (к) = 15к² + 11к + 2 са полиномом Д (к) = 3к + 1.
Желимо да поделимо:
(15к² + 11к + 2): (3к + 1)
1. корак: делимо први мономиј дивиденде са првим делиоца:
15к²: 3к = 5к
2. корак: помножимо 5к · (3к + 1) = 15к² + 5к и одузмемо резултат П (к). Да бисте извршили одузимање, потребно је обрнути знакове резултата множења, проналазећи полином:
3. корак: вршимо дељење првог члана одузимања резултата са првим чланом делиоца:
6к: 3к = 2
4. корак: па имамо (15к² + 11к + 2): (3к + 1) = 5к + 2.
Стога морамо:
К (к) = 5к + 2
Р (к) = 0
Прочитајте такође: Бриот-Руффинијев практични уређај - подела полинома
Вежбе решене
Питање 1 - Колика треба бити вредност м да полином П (к) = (м² - 9) к³ + (м + 3) к² + 5к + м има степен 2?
А) 3
Б) -3
В) ± 3
Д) 9
Е) -9
Резолуција
Алтернатива А.
Да би П (к) имао степен 2, коефицијент к³ мора бити једнак нули, а коефицијент к² мора се разликовати од нуле.
Тако ћемо урадити:
м² - 9 = 0
м² = 9
м = ± 9
м = ± 3
С друге стране, имамо м + 3 = 0.
Дакле, м = -3.
Дакле, као решење прве једначине имамо да је м = 3 или м = -3, међутим за другу имамо м = -3, па је једино решење због којег П (к) има степен 2: м = 3.
Питање 2 - (ИФМА 2017) Опсег слике може се записати полиномом:
А) 8к + 5
Б) 8к + 3
В) 12 + 5
Д) 12к + 10
Е) 12к + 8
Резолуција
Алтернатива Д.
Из слике, када анализирамо дату дужину и ширину, знамо да је опсег збир свих страница. Будући да су дужина и висина једнаки, само помножимо збир датих полинома са 2.
2 · (2к + 1 + 4к + 4) = 2 · (6к + 5) = 12к + 10
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
