Коцка збира и коцка разлике

Коцка збира и коцка разлике су две врсте значајних производа, где се два члана сабирају или одузимају, а затим коцкају, односно са експонентом једнаким 3.

(к + и) ³ -> збир коцке

(к – и) ³ -> коцка разлике

Коцка збира се може написати и као (к+и). (к+и). (к + и) а коцка разлике као (к – и). (к – и). (к - и).

Ови производи добијају назив значајних производа због значаја који имају, пошто се често појављују у алгебарским прорачунима.

Запамтите да се у математици исти израз може написати на други начин, али без промене његове вредности. На пример, к + 1 + 1 може се написати једноставно као к + 2.

Често, када препишемо израз, можемо да поједноставимо и решимо многе алгебарске проблеме. Зато, хајде да видимо још један начин писања коцке збира и коцке разлике, развијајући их алгебарски.

збир коцке

О збир коцке је изузетан производ (к + и) ³, који је исти као (к + и). (к+и). (к+и). На овај начин можемо написати:

(к + и) ³ = (к + и). (к+и). (к + и)

Сада, с обзиром на то (к + и). (к + и) = (к + и) ² = к² + 2ки + и², коцка збира се може написати као:

(к + и) ³ = (к + и). (к² + 2ки + и²)

Множење полинома (к + и) са (к² + 2ки + и²), можемо видети да:

(к + и) ³ = к³ + 2к²и + ки² + к²и + 2ки² + и³

Додавањем сличних термина, имамо да је коцка збира дата са:

(к + и) ³ = к³ + 3к²и + 3ки² + и³

Пример:

Развијте сваку коцку алгебарски:

а) (к + 5)²

(к + 5)² = (к) ³ + 3.(к) ².(5) + 3.(к).(5)² + (5)³

= к³ + 3.к².5 + 3.к.25 + 125

= к³ +15к² +75к + 125

б) (1 + 2б) ³

(1 + 2б) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2б) + 3.(1).(2б) ² + (2б) ³

 = 1 + 3.1.2б + 3.1.4б² + 8б³

= 1 + 6б + 12б² + 8б³

коцка разлике

О коцка разлике је значајан производ (к – и) ³, који је исти као (к – и). (к – и). (к – и). Дакле, морамо:

(к – и) ³ = (к – и). (к – и). (к - и)

Свиђа ми се (к – и). (к – и) = (к – и) ² = к² – 2ки + и², коцка разлике се може написати као:

(к – и) ³ = (к – и). (к² – 2ки + и²)

Множењем (к – и) са (к² – 2ки + и²), можемо видети да:

(к – и) ³ = к³ – 2к²и + ки² – к²и + 2ки² – и³

Додавањем сличних термина, имамо да је коцка разлике дата са:

(к – и) ³ = к³ – 3к²и + 3ки² – и³

Пример:

Развијте сваку коцку алгебарски:

а) (к – 2)³

(к – 2)³ = (к) ³ – 3.(к) ².(2) + 3.(к).(2)² – (2)³

= к³ – 3.к².2 + 3.к.4 – 8

= к³ – 6к² + 12к – 8

б) (2а – б) ³

(2а – б) ³ = (2а) ³ – 3.(2а) ².(б) + 3.(2а).(б²) – (б) ³

= 8а³ – 3.4а².б + 3.2а.б² – б³

= 8а³ – 12а²б + 6аб² – б³

Можда ће вас занимати и:

• Факторизација алгебарског израза
• Алгебарско рачунање које укључује мономе
• алгебарски разломци