ТХЕ модуларна једначина је а једначина да, у првом или другом члану, има термине у модулу. Модул, познат и као апсолутна вредност, везан је за удаљеност коју број има на нулу. Будући да говоримо о удаљености, модул броја је увек позитиван. Решавање проблема модуларне једначине захтева примену дефиниције модула, обично једначину делимо на два могућа случаја:
када је оно што је унутар модула позитивно и
када је оно што је унутар модула негативно.
Прочитајте такође: Која је разлика између функције и једначине?
један модул са стварним бројем
Да бисмо могли да решимо задатке модуларне једначине, неопходно је запамтити дефиницију модула. Модул је увек исти као растојање број мора бити нула, и да представља модул броја не, користимо праву траку на следећи начин: |не|. Да би се израчунао |не|, поделили смо у два случаја:
Према томе, можемо рећи да |не|. | је исто што и сопствени не када је то позитиван број или једнак нули, а, у другом случају, |не|. | је једнако супротности од не ако је негативан. Запамтите да је супротност негативног броја увек позитивна, па је |
не|. | увек има резултат једнак позитивном броју.Примери:
а) | 2 | = 2
б) | -1 | = - (- 1) = 1
Погледајте такође: Како решити логаритамску једначину?
Како решити модуларну једначину?
Да би се пронашло решење модуларне једначине, потребно је анализирати сваку од могућности, односно поделити, увек у два случаја, сваки од модула. Поред познавања дефиниције модула, за решавање модуларних једначина, неопходно је знати како решити полиномске једначине.
Пример 1:
| к - 3 | = 5
Да бисте пронашли решење за ову једначину, важно је запамтити да постоје два могућа исхода која | чинене|. | = 5, то су они, не = -5, јер | -5 | = 5, а такође не = 5, јер | 5 | = 5. Дакле, користећи исту идеју, морамо:
И → к - 3 = 5 или
ИИ → к - 3 = -5
Решавање једне од једначина одвојено:
Резолуција И:
к - 3 = 5
к = 5 + 3
к = 8
Резолуција ИИ:
к - 3 = -5
к = -5 + 3
к = -2
Дакле, постоје два решења: С = {-2, 8}.
Имајте на уму да ако је к = 8, једначина је тачна јер:
| к - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Такође имајте на уму да ако је к = -2, једначина је такође тачна:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Пример 2:
| 2к + 3 | = 5
Као у примеру 1, да би се пронашло решење, неопходно је поделити га на два случаја, према дефиницији модула.
И → 2к + 3 = 5
ИИ → 2к + 3 = -5
Резолуција И:
2к + 3 = 5
2к = 5 - 3
2к = 2
к = 2/2
к = 1
Резолуција ИИ:
2к + 3 = -5
2к = -5 - 3
2к = -8
к = -8/2
к = -4
Затим комплет решења је: С = {1, -4}.
Пример 3:
| к + 3 | = | 2к - 1 |
Када имамо једнакост два модула, морамо је поделити на два случаја:
1. падеж, први и други члан истог знака.
2. падеж, први и други члан супротних знакова.
Резолуција И:
Направићемо две стране веће од нуле, односно једноставно ћемо уклонити модул. Можемо такође са оба негатива, али резултат ће бити исти.
Кс + 3 ≥ 0 → | к + 3 | = к + 3
2к - 1 ≥ 0 → | 2к - 1 | = 2к - 1
к + 3 = 2к - 1
к - 2к = -1 - 3
к = -4 (-1)
к = 4
Резолуција ИИ:
Стране супротних знакова. Изабраћемо једну страну да буде позитивна, а другу страну негативна.
Избор:
| к + 3 | ≥ 0 → | к + 3 | = к + 3
| 2к - 1 | <0 → | 2к –1 | = - (2к - 1)
Дакле, морамо:
к + 3 = - (2к - 1)
к + 3 = - 2к + 1
к + 2к = - 3 + 1
3к = -2
к = -2/3
Дакле, скуп решења је: С = {4, -2/3}.
Такође приступите: Шта су ирационалне једначине?
Вежбе решене
Питање 1 - (УФЈФ) Број негативних решења модуларне једначине | 5к - 6 | = к² је:
А) 0
Б) 1
Ц) 2
Д) 3
Е) 4
Резолуција
Алтернатива Е.
Желимо да решимо модуларну једначину:
| 5к - 6 | = к²
Дакле, поделимо то на два случаја:
Резолуција И:
5к - 6> 0 → | 5к - 6 | = 5к - 6
Дакле, морамо:
5к - 6 = к²
-к² + 5к - 6 = 0
Запамтите да нам делта вредност говори колико решења има квадратна једначина:
а = -1
б = 5
ц = -6
Δ = б² - 4ац
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Пошто је 1 позитивно, у овом случају постоје два стварна решења.
Резолуција ИИ:
| 5к - 6 | <0 → | 5к - 6 | = - (5к - 6)
- (5к - 6) = к²
- 5к + 6 = к²
- к² - 5к + 6 = 0
Δ = б² - 4ац
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
С обзиром да је Δ и у овом случају позитивно, постоје два стварна решења, па је укупан број стварних решења 4.
Питање 2 - (ПУЦ СП) Скуп решења једначине | 2к - 1 | = к - 1 је:
А) С = {0, 2/3}
Б) С = {0, 1/3}
В) С = Ø
Д) С = {0, -1}
Е) С = {0, 4/3}
Резолуција
Алтернатива А.
Резолуција И:
| 2к - 1 | = 2к - 1
Дакле, морамо:
2к - 1 = к - 1
2к - к = - 1 + 1
к = 0
Резолуција ИИ:
| 2к - 1 | = - (2к - 1)
- (2к - 1) = к - 1
-2к + 1 = к - 1
-2к - к = -1 - 1
-3к = -2 (-1)
3к = 2
к = 2/3
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
