Метода завршетка квадрата

Међу начинима за проналажење нумеричке вредности к, поступак познат и као наћи корене једначине или наћи решење једначине, истичу: Бхаскара формула то је процес попуњавања квадрата. Ово последње је фокус данашњег текста.

Број решења једначине дат је степеном. Према томе, једначине првог степена имају само једно решење, једначине трећег степена имају три решења, и квадратне једначине имају два решења, која се називају и корени..

Једначине другог степена, у смањеном облику, могу се написати на следећи начин:

секира² + бк + ц = 0

метода завршетка квадрата

У том случају квадратна једначина је савршени квадратни трином

Једначине другог степена које произилазе из изузетног производа познате су као савршени квадратни трином. Да бисмо пронашли његове корене, послужићемо се методом приказаном у наставку:

Пример: Израчунати корене к једначине² + 6к + 9 = 0.

Имајте на уму да је коефицијент б 6 = 2 · 3. Да бисте га написали у облику изванредног производа, само проверите да ли је ц = 3², што је тачно, јер 3² = 9 = ц. На овај начин можемо написати:

Икс² + 6к + 9 = (к + 3)² = 0

Имајте на уму да је изванредан производ производ између два једнака полинома. У случају ове једначине имаћемо:

(к + 3)² = (к + 3) (к + 3) = 0

Производ је једнак нули само када је један од његових фактора једнак нули. Стога је за (к + 3) (к + 3) = 0 неопходно да је (к + 3) = 0 или (к + 3) = 0. Отуда два једнака резултата за к једначину² + 6к + 9 = 0, а то су: к = - 3 или к = - 3.

Укратко: за решавање х једначине² + 6к + 9 = 0, напиши:

Икс² + 6к + 9 = 0

(к + 3)² = 0

(к + 3) (к + 3) = 0

к = - 3 или к = - 3

У том случају квадратна једначина није савршени квадратни трином

Једначина секунде у којој коефицијент б и коефицијент ц не испуњавају горе утврђене релације није савршени квадратни трином. У овом случају, горе истакнути метод решавања може се користити уз додатак неколико корака. Обратите пажњу на следећи пример:

Пример: Израчунати корене к једначине² + 6к - 7 = 0.

Имајте на уму да ова једначина није савршени квадратни трином. Да би то било, можемо користити следеће операције:

Имајте на уму да је б = 2 · 3, тако да је у првом члану израз који треба да се појави к² + 6к + 9, јер је у овом изразу б = 2 · 3 и ц = 3².

За ову „трансформацију“ додајте 3² на два члана ове једначине, "проследите" - 7 другом члану, извршите могуће операције и посматрајте резултате:

Икс² + 6к - 7 + 3² = 0 + 3²

Икс² + 6к + 3² = 3² + 7

Икс² + 6к + 9 = 9 + 7

Икс² + 6к + 9 = 16

(к + 3)² = 16

√ (к + 3)² = √16

к + 3 = 4 или к + 3 = - 4

Овај последњи корак мора бити подељен на две једначине, јер корен 16 може бити 4 или - 4 (то се дешава само у једначинама. Ако се пита шта је корен 16, одговор је само 4). Дакле, потребно је пронаћи све могуће резултате. Наставља:

к + 3 = 4 или к + 3 = - 4

к = 4 - 3 или к = - 4 - 3

к = 1 или к = - 7

У том случају коефицијент "а" није једнак 1

Претходни случајеви су намењени једначинама другог степена где је коефицијент "а" једнак 1. Ако се коефицијент „а“ разликује од 1, само поделите целу једначину са вредношћу „а“ и наставите са прорачунима на исти начин као у претходном случају.

Пример: Израчунај 2к корене² + 16к - 18 = 0

Имајте на уму да је а = 2. Дакле, поделите целу једначину са 2 и поједноставите резултате:

2к² + 16к – 18 = 0
 2 2 2 2

Икс² + 8к - 9 = 0

Када се то уради, поновите поступке из претходног случаја.

Икс² + 8к - 9 = 0

Икс² + 8к - 9 + 16 = 0 + 16

Икс² + 8к + 16 = 9 + 16

(к + 4)² = 25

√ (к + 4)² = √25

к + 4 = 5 или к + 4 = –5

к = 5 - 4 или к = - 5 - 4

к = 1 или к = - 9

Значајни производи и једначине другог степена: порекло методе довршавања квадрата

Квадратне једначине су сличне изванредним производима збир квадрата и квадрат разлике.

На пример, збир квадрата је збир два монома на квадрат. Гледати:

(к + к)² = к² + 2кк + к²

Први члан горе наведене једнакости познат је као изузетан производ а друго како савршени квадратни трином. Ово последње је веома налик једначини другог степена. Гледати:

Савршени квадратни трином: Икс² + 2кк + к²

Једначина другог степена: секира² + бк + ц = 0

На тај начин, ако постоји било какав начин да се квадратна једначина напише као изузетан производ, можда постоји и начин да пронађете своје резултате без потребе за употребом формуле Бхаскара.

Да бисте то урадили, имајте на уму да су у горе наведеном запаженом производу а = 1, б = 2 · к и ц = к². На овај начин могуће је написати једначине које испуњавају ове захтеве у облику изванредног производа.

Па погледајте коефицијенте у једначини. Ако се „а“ разликује од 1, поделите целу једначину са вредношћу „а“. У супротном, посматрајте коефицијент "б". Нумеричка вредност половине овог коефицијента мора бити једнака нумеричкој вредности квадратног корена коефицијента „ц“. Математички, с обзиром на ос једнаџбе² + бк + ц = 0, ако је а = 1 и поред тога:

Б. = ц
2

Дакле, ову једначину можете написати овако:

секира² + бк + ц = (к + Б.) = 0
2

И његови корени ће бити - Б. и + б.
2 2

Отуда и сва теорија коришћена за израчунавање корена квадратних једначина методом попуњавања квадрата.

Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm