Вежбајте своје знање о линеарним системима, важној теми из математике која укључује проучавање симултаних једначина. Уз многе практичне примене, користе се за решавање проблема који укључују различите варијабле.
Сва питања се решавају корак по корак, при чему ћемо користити различите методе, као што су: замена, сабирање, елиминација, скалирање и Крамерово правило.
Питање 1 (метод замене)
Одредити уређени пар који решава следећи систем линеарних једначина.
Одговор:
Изоловање к у првој једначини:
Замена к у другу једначину:
Замена вредности и у прву једначину.
Дакле, уређени пар који решава систем је:
Питање 2 (метод скалирања)
Решење следећег система линеарних једначина је:
Одговор: х = 5, у = 1, з = 2
Систем је већ у ешалонској форми. Трећа једначина има два нула коефицијента (и = 0 и к = 0), друга једначина има нулти коефицијент (к = 0), а трећа једначина нема коефицијенте нула.
У ешалонском систему решавамо „одоздо нагоре“, односно почињемо од треће једначине.
Прелазећи на горњу једначину, замењујемо з = 2.
Коначно, замењујемо з = 2 и и = 1 у првој једначини, да бисмо добили к.
Решење
к = 5, и = 1, з = 2
Питање 3 (Крамерово правило или метод)
Реши следећи систем линеарних једначина:
Одговор: к = 4, и = 0.
Користећи Крамерово правило.
Корак 1: одредити детерминанте Д, Дк и Ди.
Матрица коефицијената је:
Његова одредница:
Д = 1. 1 - 2. (-1)
Д = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
За израчунавање Дк, колону појмова к замењујемо колоном независних чланова.
Дк = 4. 1 - 8. (-1)
Дк = 4 + 8 = 12
За израчунавање Ди, замењујемо чланове од и независним члановима.
Ди = 1. 8 - 2. 4
Ди = 8 - 8
Ди = 0
корак 2: одредити к и и.
Да бисмо одредили к, радимо:
Да бисмо одредили и, радимо:
питање 4
Продавац мајица и капа на спортском догађају продао је 3 мајице и 2 капе, прикупивши укупно 220,00 Р$. Следећег дана је продао 2 мајице и 3 капе, сакупивши 190,00 Р$. Колика би била цена мајице и качкета?
а) Мајица: БРЛ 60,00 | Капацитет: БРЛ 40.00
б) Мајица: БРЛ 40,00 | Капацитет: 60,00 БРЛ
ц) Мајица: 56,00 БРЛ | Капацитет: 26,00 БРЛ
д) Мајица: 50,00 БРЛ | Капацитет: 70,00 БРЛ
е) Мајица: 80,00 БРЛ | Капацитет: 30,00 БРЛ
Означимо цену мајица ц и цену шешира б.
За први дан имамо:
3ц + 2б = 220
За други дан имамо:
2ц + 3б = 190
Формирамо две једначине са по две непознате, ц и б. Дакле, имамо систем линеарних једначина 2к2.
Резолуција
Користећи Крамерово правило:
1. корак: детерминанта матрице коефицијената.
2. корак: одредница Дц.
Колона ц замењујемо матрицом независних чланова.
3. корак: одредница Дб.
4. корак: одредити вредност ц и б.
Одговор:
Цена мајице је 56,00 Р$, а капице 26,00 Р$.
питање 5
Биоскоп наплаћује 10,00 Р$ по улазници за одрасле и 6,00 Р$ по улазници за децу. У једном дану је продато 80 карата, а укупна наплата је била 700,00 Р$. Колико је карата сваке врсте продато?
а) Одрасли: 75 | Деца: 25
б) Одрасли: 40 | Деца: 40
ц) Одрасли: 65 | Деца: 25
д) Одрасли: 30 | Деца: 50
е) Одрасли: 25 | Деца: 75
Назваћемо га као Тхе цена карте за одрасле и в за децу.
У односу на укупан број карата имамо:
а + ц = 80
Што се тиче добијене вредности имамо:
10а + 6ц = 700
Формирамо систем линеарних једначина са две једначине и две непознате, односно систем 2к2.
Резолуција
Користићемо метод замене.
Изоловање а у првој једначини:
а = 80 - ц
Замена а у другу једначину:
10.(80 - ц) + 6ц = 700
800 -10ц + 6ц = 700
800 - 700 = 10ц - 6ц
100 = 4ц
ц = 100/4
ц = 25
Замена ц у другој једначини:
6а + 10ц = 700
6а+10. 25 = 700
6и + 250 = 700
6а = 700 - 250
6а = 450
а = 450/6
а = 75
питање 6
Продавница продаје мајице, кратке хлаче и ципеле. Првог дана продате су 2 мајице, 3 шортса и 4 пара ципела у укупној вредности од 350,00 Р$. Другог дана продате су 3 мајице, 2 шортса и 1 пар ципела, укупне вредности 200,00 Р$. Трећег дана продата је 1 мајица, 4 шортса и 2 пара ципела у укупној вредности од 320,00 Р$. Колико би коштале мајица, шортс и пар ципела?
а) Мајица: 56,00 БРЛ | Бермуда: 24,00 Р$ | Ципеле: 74,00 БРЛ
б) Мајица: БРЛ 40,00 | Бермуда: 50,00 Р$ | Ципеле: БРЛ 70,00
ц) Мајица: 16,00 БРЛ | Бермуда: 58,00 Р$ | Ципеле: БРЛ 36.00
д) Мајица: 80,00 БРЛ | Бермуда: 50,00 Р$ | Ципеле: БРЛ 40.00
е) Мајица: 12,00 БРЛ | Бермуда: 26,00 Р$ | Ципеле: БРЛ 56.00
- ц је цена кошуља;
- б је цена шортса;
- с је цена ципела.
За први дан:
2ц + 3б + 4с = 350
За други дан:
3ц + 2б + с = 200
Трећи дан:
ц + 4б + 2с = 320
Имамо три једначине и три непознате, формирајући 3к3 систем линеарних једначина.
Користећи Крамерово правило.
Матрица коефицијената је
Његова детерминанта је Д = 25.
Матрица колона одговора је:
Да бисмо израчунали Дц, замењујемо матрицу колона одговора првом колоном у матрици коефицијената.
дц = 400
За израчунавање Дб:
Дб = 1450
За израчунавање Дс:
Дс = 900
Да бисмо одредили ц, б и с, делимо детерминанте Дц, Дб и Дс главном детерминантом Д.
питање 7
Ресторан нуди три опције јела: месо, салату и пицу. Првог дана продато је 40 месних јела, 30 јела за салату и 10 пица, у укупној продаји од 700,00 Р$. Другог дана продато је 20 месних јела, 40 јела за салату и 30 пица, у укупном износу од 600,00 Р$. Трећег дана продато је 10 месних јела, 20 јела за салату и 40 пица, у укупној продаји од 500,00 Р$. Колико би коштало свако јело?
а) месо: 200,00 БРЛ | салата: Р$ 15,00 | пица: БРЛ 10.00
б) месо: 150,00 Р$ | салата: 10,00 Р$ | пица: БРЛ 60.00
ц) месо: 100,00 БРЛ | салата: Р$ 15,00 | пица: БРЛ 70,00
д) месо: 200,00 БРЛ | салата: Р$ 10,00 | пица: БРЛ 15.00
е) месо: 140,00 БРЛ | салата: Р$ 20,00 | пица: БРЛ 80.00
Користећи:
- ц за месо;
- с за салату;
- п за пицу.
Првог дана:
Другог дана:
Трећег дана:
Цена сваког јела се може добити решавањем система:
Резолуција
Користећи методу елиминације.
Помножите 20ц + 40с + 30п = 6000 са 2.
Одузмите другу матричну једначину добијену од прве.
У горњој матрици ову једначину замењујемо другом.
Трећу горњу једначину множимо са 4.
Одузимањем треће од прве једначине добијамо:
Замена добијене једначине трећом.
Одузимајући једначине два и три, имамо:
Из треће једначине добијамо п = 80.
Замена п у другој једначини:
50 с + 50,80 = 5000
50 с + 4000 = 5000
50 с = 1000
с = 1000/50 = 20
Замена вредности с и п у првој једначини:
40ц + 30,20 + 10,80 = 7000
40ц + 600 + 800 = 7000
40ц = 7000 - 600 - 800
40ц = 5600
ц = 5600 / 40 = 140
Решење
п=80, с=20 и ц=140
питање 8
(УЕМГ) У плану, систем представља пар линија
а) подударност.
б) различите и паралелне.
ц) истовремене праве у тачки (1, -4/3)
д) истовремене праве у тачки (5/3, -16/9)
Множење прве једначине са два и додавање две једначине:
Замена к у једначини А:
питање 9
(ПУЦ-МИНАС) Одређена лабораторија послала је 108 налога апотекама А, Б и Ц. Познато је да је број поруџбина упућених апотеци Б био двоструко већи од укупног броја поруџбина упућених у друге две апотеке. Поред тога, три поруџбине више од половине количине испоручене у апотеку А послате су у апотеку Ц.
На основу ових података, ТАЧНО је констатовати да је укупан број поруџбина упућених апотекама Б и Ц био
а) 36
б) 54
в) 86
г) 94
Према изјави имамо:
А + Б + Ц = 108.
Такође, да је количина Б била двоструко већа од А + Ц.
Б = 2(А + Ц)
У апотеку Ц су послате три поруџбине, више од половине количине отпремљене у апотеку А.
Ц = А/2 + 3
Имамо једначине и три непознате.
Коришћењем методе замене.
Корак 1: замените трећи са другим.
Корак 2: Замените добијени резултат и трећу једначину у прву.
Корак 3: Замените вредност А да бисте одредили вредности Б и Ц.
Б = 3А + 6 = 3,22 + 6 = 72
За Ц:
Корак 4: додајте вредности Б и Ц.
72 + 14 = 86
питање 10
(УФРГС 2019) Тако да систем линеарних једначина могуће и одређено, потребно је и довољно да
а) а ∈ Р.
б) а = 2.
в) а = 1.
г) а = 1.
в) а = 2.
Један од начина да се систем класификује као могући и одређен је Крамеров метод.
Услов за то је да су детерминанте различите од нуле.
Учинити детерминанту Д главне матрице једнаком нули:
Да бисте сазнали више о линеарним системима:
- Линеарни системи: шта су, врсте и како се решавају
- Системи једначина
- Скалирање линеарних система
- Крамерово правило
За више вежби:
- Системи једначина 1. степена
АСТХ, Рафаел. Вежбе на решеним линеарним системима.Алл Маттер, [н.д.]. Доступна у: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Приступ на:
Види такође
- Линеарни системи
- Скалирање линеарних система
- Системи једначина
- 11 вежби о множењу матрица
- Једначина другог степена
- Вежбе о неједнакости
- 27 Вежбе из основне математике
- Крамерово правило
