А тангента (скраћено као тг или тан) је а тригонометријска функција. За одређивање тангенте угла можемо користити различите стратегије: израчунати однос између синуса и косинуса угла, ако су познати; користите тангентну табелу или калкулатор; израчунати однос супротног крака и суседног, ако је угао у питању унутрашњи (оштар) између осталог правоуглог троугла.
Прочитајте такође: За шта се користи тригонометријски круг?
резиме о тангенти
Тангента је тригонометријска функција.
Тангента унутрашњег угла на правоугли троугао је однос супротне и суседне стране.
Тангента било ког угла је однос синуса и косинуса тог угла.
Функција \(ф (к)=тг\ к\) је дефинисан за углове Икс изражено у радијанима, тако да је цос \(цос\ к=0\).
Графикон тангентне функције приказује вертикалне асимптоте за вредности, где је \(к= \фрац{π}2+кπ\), са к цео, као \(к=-\фрац{π}2\).
Закон тангенти је израз који у било ком троуглу повезује тангенте два угла и странице супротне тим угловима.
Тангента угла
Ако је α један угао унутрашње од а Право троугао, тангента α је однос између дужине супротног крака и дужине суседног крака:
За било који угао α, тангента је однос између син α и косинуса од α, где је \(цос\ α=0\):
\(тг\ α=\фрац{син\ α}{цос\ α}\)
Треба напоменути да ако је α угао у 1. или 3. квадранту, тангента ће имати позитиван предзнак; али ако је α угао 2. или 4. квадранта, тангента ће имати негативан предзнак. Овај однос произилази директно из правила знака између знакова синуса и косинуса за свако α.
Важно: Имајте на уму да тангента не постоји за вредности α где \(цос\ α=0\). Ово се дешава за углове од 90°, 270°, 450°, 630° и тако даље. Да бисмо ове углове представили на општи начин, користимо радијанску нотацију: \(\фрац{ π}2+кπ\), са к цела.
Тангента значајних углова
Користећи израз \(тг\ α=\фрац{син\ α}{цос\ α}\), можемо пронаћи тангенте изузетне углове, који су углови од 30°, 45° и 60°:
\(тг\ 30°=\фрац{син\ 30°}{цос\ 30°}=\фрац{\фрац{1}{2}}{\фрац{\скрт3}{2}}=\фрац{1}{\скрт3}=\фрац{\скрт3}{3}\)
\(тг\ 45°=\фрац{син\ 45°}{цос\ 45°} = \фрац{\фрац{\скрт2}{2}}{\фрац{\скрт2}{2}}=1\)
\(тг\ 60°=\фрац{син\ 60°}{цос\ 60°}=\фрац{\фрац{\скрт3}{2}}{\фрац{1}2}=\скрт3\)
Занимљиво: Поред ових, можемо анализирати вредности тангента за углове од 0° и 90°, који се такође широко користе. Пошто је син 0° = 0, закључујемо да је тан 0° = 0. За угао од 90°, пошто је цос90° = 0, тангента не постоји.
Како израчунати тангенту?
За израчунавање тангенте користимо формулу тг α=син αцос α, која се користи за израчунавање тангенте било ког угла. Погледајмо неке примере у наставку.
Пример 1
Пронађите тангенту угла α у десном троуглу испод.
Резолуција:
Што се тиче угла α, страна мере 6 је супротна страна, а страна мере 8 суседна страна. Овако:
\(тг\ α=\фрац{6}8=0,75\)
Пример 2
Знајући да \(син\ 35°≈0,573\) и цос\(35°≈0,819\), пронађите приближну вредност за тангенту од 35°.
Резолуција:
Пошто је тангента угла однос између синуса и косинуса тог угла, имамо:
\(тг\ 35°=\фрац{син\ 35°}{цос\ 35°}= \фрац{0,573}{0,819}\)
\(тг\ 35°≈0,700\)
тангентна функција
Функција фк=тг к је дефинисана за углове Икс изражено у радијанима, тако да \(цос\ к=0\). То значи да је домен тангентне функције изражен са:
\(Д(тг)=\{к∈ \матхбб{Р}:к=\фрац{π}2+кπ, к∈ \матхбб{З} \}\)
Штавише, све реални бројеви су слика тангентне функције.
→ Графикон функције тангенте
Имајте на уму да график тангентне функције има вертикалне асимптоте за вредности где \(к= \фрац{π}2+кπ\), са к цео, као \( к=-\фрац{π}2\). За ове вредности од Икс, тангента није дефинисана (тј. тангента не постоји).
Погледајте такође: Шта је домен, опсег и слика?
закон тангента
Закон тангенти је а израз који асоцира, у а троугао било који, тангенте два угла и странице супротне тим угловима. На пример, размотрите углове α и β троугла АБЦ испод. Имајте на уму да је страница ЦБ = а наспрам угла α и да је страница АЦ = б наспрам угла β.
Закон тангенти каже да:
\(\фрац{а-б}{а+б}=\фрац{тг\ [\фрац{1}2(α-β)]}{тг\ [\фрац{1}2 (α+β)]}\)
тригонометријски односи
До тригонометријски односи су тригонометријске функције које се раде на правоуглом троуглу. Ове односе тумачимо као односе између страница и углова овог типа троугла.
Решене вежбе на тангенту
Питање 1
Нека је θ угао другог квадранта такав да је син\(син\ θ≈0,978\), тако да је тгθ приближно:
А) -4,688
Б) 4.688
Ц) 0,2086
Д) -0,2086
Е) 1
Резолуција
Алтернатива А
ако \(син\ θ≈0,978\), затим, користећи основни идентитет тригонометрије:
\(син^2 θ+цос^2 θ=1\)
\(0,978^2+цос^2 θ=1\)
\(цос^2 θ=1-0,956484\)
\(цос\ θ=±\скрт{0,043516}\)
Пошто је θ угао другог квадранта, онда је цосθ негативан, дакле:
\(цос\ θ≈- 0,2086\)
Ускоро:
\(тг\ θ=\фрац{син\ θ}{цос\ θ}=\фрац{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
питање 2
Размотримо правоугли троугао АБЦ са катетама АБ = 3 цм и АЦ = 4 цм. Тангента угла Б је:
А) \(\фрац{3}4\)
Б) \(\фрац{3}5\)
В) \(\фрац{4}3\)
Д) \(\фрац{4}5\)
И) \(\фрац{5}3\)
Резолуција:
Алтернатива Ц
Према исказу, нога насупрот угла \(\шешир{Б}\) је АЦ димензија 4 цм и крак уз угао \(\шешир{Б}\) је АБ са мером 3 цм. Овако:
\(тг\хат{Ц}=\фрац{4}3\)
Аутор: Мариа Луиза Алвес Риззо
Наставник математике
