симетрична матрица је штаб у којој сваки елемент \(а_{иј}\) једнак је елементу \(а_{ји}\) за све вредности и и ј. Према томе, свака симетрична матрица је једнака њеном транспоновању. Такође је вредно напоменути да је свака симетрична матрица квадратна и да главна дијагонала делује као оса симетрије.
Прочитајте такође:Матрично сабирање и одузимање — како израчунати?
Сажетак о симетричној матрици
У симетричној матрици, \(а_{иј}=а_{ји}\) за све и и ј.
Свака симетрична матрица је квадратна.
Свака симетрична матрица је једнака свом транспоновању.
Елементи симетричне матрице су симетрични око главне дијагонале.
Док је у симетричној матрици \(а_{иј}=а_{ји}\) за све и и ј; у антисиметричној матрици, \(а_{иј}=-а_{ји}\) за све и и ј.
Шта је симетрична матрица?
Симетрична матрица је квадратна матрица где \(\матхбф{а_{иј}=а_{ји}}\) за свако и и свако ј. То значи да \(а_{12}=а_{21},а_{23}=а_{32},а_{13}=а_{13}\), и тако даље, за све могуће вредности и и ј. Запамтите да могуће вредности и одговарају редовима матрице, а могуће вредности ј одговарају колонама матрице.
Примери симетричних матрица
\(\бегин{бматрик} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \енд{бматрик}\), \(\бегин{бматрик} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \енд{бматрик}\), \(\бегин{бматрик} а & б & ц \\ б & д & е \\ ц & е & ф \\ \енд{бматрик}\)
Примери несиметричних матрица (размотрите \(\матхбф{б=г}\))
\(\бегин{бматрик} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \енд{бматрик}\), \(\бегин{бматрик} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \енд{бматрик}\), \(\бегин{бматрик} а & г & ц \\ б & д & е \\ ц & е & ф \\ \енд{бматрик}\)
Важно: Рећи да матрица није симетрична значи то показати \(а_{иј}=а_{ји}\) за бар неке и и ј (што можемо видети упоређивањем претходних примера). Ово се разликује од концепта антисиметричне матрице, који ћемо видети касније.
Која су својства симетричне матрице?
Свака симетрична матрица је квадратна
Имајте на уму да је дефиниција симетричне матрице заснована на квадратним матрицама. Дакле, свака симетрична матрица има исти број редова као и број колона.
Свака симетрична матрица је једнака свом транспоновању
Ако је А матрица, њена транспоновано (\(А^Т\)) је дефинисана као матрица чији су редови колоне А, а чије су колоне редови А. Дакле, ако је А симетрична матрица, имамо \(А=А^Т\).
У симетричној матрици, елементи се „рефлектују“ у односу на главну дијагоналу
Као \(а_{иј}=а_{ји}\) у симетричној матрици, елементи изнад главне дијагонале су „одрази“ елемената испод дијагонале (или обрнуто) у односу на дијагоналу, тако да главна дијагонала делује као оса симетрија.
Које су разлике између симетричне матрице и антисиметричне матрице?
Ако је А симетрична матрица, онда \(а_{иј}=а_{ји}\) за све и и све ј, како смо проучавали. У случају антисиметричне матрице ситуација је другачија. Ако је Б антисиметрична матрица, онда \(\матхбф{б_{иј}=-б_{ји}}\) за свако и и свако ј.
Имајте на уму да ово резултира \(б_{11}=б_{22}=б_{33}=⋯=б_{нн}=0\), то је, главни дијагонални елементи су нула. Последица овога је да је транспозиција антисиметричне матрице једнака њеној супротности, односно, ако је Б антисиметрична матрица, онда \(Б^Т=-Б\).
Примери антисиметричних матрица
\(\бегин{бматрик} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \енд{бматрик}\), \(\бегин{бматрик} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \енд{бматрик}\), \(\бегин{бматрица} 0 & -м & к \\ м & 0 & -и \\ -к & и & 0 \\ \енд{бматрик}\)
Погледајте такође: Матрица идентитета — матрица у којој су главни елементи дијагонале једнаки 1, а преостали елементи једнаки 0
Решене вежбе на симетричној матрици
Питање 1
(Уницентро)
ако је матрица \(\бегин{бматрица} 1 & к & и-1 \\ и-1 & 0 & к+5 \\ к & 7 & -1 \\ \енд{бматрик}\) је симетрична, па је вредност ки:
А) 6
Б) 4
Ц) 2
Д) 1
Е) -6
Резолуција:
Алтернатива А
Ако је дата матрица симетрична, онда су елементи у симетричним позицијама једнаки (\(а_{иј}=а_{ји}\)). Стога, морамо да:
\(к = и - 1\)
\(к + 5 = 7\)
Замена првог једначина у другом закључујемо да \(и=3\), ускоро:
\(к=2\) То је \(ки=6\)
питање 2
(УФСМ) Знајући да је матрица \(\бегин{бматрик} И & 36 & -7 \\ к^2 & 0 & 5к \\ 4-и & -30 & 3 \\ \енд{бматрик}\) једнака је његовом транспоновању, вредности \(2к+и\) é:
А) -23
Б) -11
Ц) -1
Д) 11
Е) 23
Резолуција:
Алтернатива Ц
Пошто је дата матрица једнака њеној транспоновању, онда је то симетрична матрица. Дакле, елементи у симетричним позицијама су једнаки (\(а_{иј}=а_{ји}\)), односно:
\(к^2=36\)
\(4-и=-7\)
\(-30=5к\)
По првој једначини, к=-6 или к=6. Трећом једначином добијамо тачан одговор: к= -6. По другој једначини, и=11.
Ускоро:
\(2к+и=2.(-6)+11=-1\)
Аутор: Мариа Луиза Алвес Риззо
Наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm