А пропорција Златан или божанска пропорција је једнакост повезана са идејама хармоније, лепоте и савршенства. Еуклид Александријски, грчки математичар који је живео око 300. године пре нове ере. Ц., био је један од првих мислилаца који је формализовао овај концепт који до данас интригира истраживаче из различитих области.
Разлог за ово интересовање је што се златни пресек може посматрати на приближан начин у природи, укључујући у семену и лишћу биљака иу људском телу. Сходно томе, златни пресек је предмет проучавања различитих стручњака, као што су биолози, архитекте, уметници и дизајнери.
Прочитајте такође: Број пи — једна од најважнијих константи у математици
Резиме о златном пресеку
Златни пресек је однос за \(а>б>0\) тако да
\(\фрац{а+б}а =\фрац{а}б\)
Под овим условима разлог ТхеБ назива се златним пресеком.
Златни пресек је повезан са схватањима равнотеже, чистоће и савршенства.
Грчко слово ϕ (читај: фи) представља златни број, који је константа добијена из златног пресека.
У Фибоначијевом низу, количники између сваког члана и његовог претходника приближавају се златном броју.
Златни правоугаоник је правоугаоник чије су странице у златном пресеку.
Шта је златни пресек?
Замислите сегмент линије подељен на два дела: већи од мере Тхе и најмањи Б. схватити да а+б је мера целог сегмента.
Златни пресек је једнакост међу разлозима\(\матхбф{\фрац{а+б}а}\) То је \(\матхбф{\фрац{а}{б}}\), тј
\(\фрац{а+б}а =\фрац{а}б\)
У овом контексту то кажемо Тхе То је Б су у златном пресеку.
Али за које вредности Тхе То је Б имамо ли златни пресек? То ћемо видети следеће.
Како израчунати златни број?
Разлог \(\фрац{а}б\)(или, исто тако, разлог \(\фрац{а+б}а\)) резултира константом која се зове златни број а представљено је грчким словом ϕ. Дакле, уобичајено је писати
\(\фрац{а+б}а =\фрац{а}б=ϕ\)
Да бисмо израчунали златни број, размотримо златни пресек за б = 1. Дакле, лако можемо пронаћи вредност од Тхе и добити ϕ од једнакости \(\матхбф{\фрац{а}{б}=ϕ}\).
Имајте на уму да златни пресек можемо написати на следећи начин, користећи својство унакрсног множења:
\(а^2=б⋅(а+б)\)
Заменивши б = 1, имамо
\(а^2=1⋅(а+1)\)
\(а^2-а-1=0\)
Примена Бхаскарине формуле за ову квадратну једначину закључујемо да је позитивно решење од Тхе é
\(а=\фрац{1+\скрт5}2\)
Као Тхе је мера сегмента, занемарићемо негативно решење.
Па како \(\фрац{а}б=ϕ\), Тачна вредност златног броја је:
\(ϕ=\фрац{1+\скрт5}2\)
Израчунавајући количник, добијамо Приближна вредност златног броја:
\(ϕ≈1,618033989\)
Погледајте такође: Како решити математичке операције са разломцима?
Златни однос и Фибоначијев низ
А Фибоначијев низ је листа бројева где је сваки члан, почев од трећег, једнак збиру два претходника. Погледајмо првих десет чланова овог низа:
\(а_1=1\)
\(а_2=1\)
\(а_3=1+1=2\)
\(а_4=1+2=3\)
\(а_5=2+3=5\)
\(а_6=3+5=8\)
\(а_7=5+8=13\)
\(а_8=8+13=21\)
\(а_9=13+21=34\)
\(а_{10}=21+34=55\)
Док рачунамо количник између сваког члана и његовог претходника у Фибоначијевом низу, приближавамо се златном броју ϕ:
\(\фрац{а_2}{а_1}=\фрац{1}1=1\)
\(\фрац{а_3}{а_2}=\фрац{2}1=2\)
\(\фрац{а_4}{а_3}=\фрац{3}2=1,5\)
\(\фрац{а_5}{а_4}=\фрац{5}3=1,6666…\)
\(\фрац{а_6}{а_5}=\фрац{8}5=1,6\)
\(\фрац{а_7}{а_6}=\фрац{13}8=1,625\)
\(\фрац{а_8}{а_7}=\фрац{21}{13}=1,6153…\)
\(\фрац{а_9}{а_8}=\фрац{34}{21}=1,61904…\)
\(\фрац{а_10}{а_9}=\фрац{55}{34}=1,61764…\)
Златни пресек и златни правоугаоник
Један правоугаоник где је најдужа страна Тхе а мања страна Б су у златном пресеку зове се златни правоугаоник. Пример златног правоугаоника је правоугаоник чије су странице 1 цм и \(\фрац{1+\скрт5}2\) центиметар.
Знате више: Шта су директно пропорционалне величине?
Примене златног пресека
Имајте на уму да смо до сада проучавали златни пресек само у апстрактним математичким контекстима. Затим ћемо видети неке примењене примере, али је потребна пажња: златни пресек није тачно представљен ни у једном од ових случајева. Оно што постоји су анализе различитих контекста у којима златни број се појављује такоприближна.
Златни однос у архитектури
Неке студије тврде да се процене броја злата примећују у одређеним односима димензија Кеопсове пирамиде, у Египту, и зграде седишта УН-а у Њујорку.
Златни пресек у људском телу
Мере људског тела се разликују од особе до особе и не постоји савршен тип тела. Међутим, барем од античке Грчке, воде се дебате о математички идеалном телу (и потпуно недостижном у стварности), са мерењима која се односе на златни пресек. У овом теоријском контексту, нпр. однос висине особе и растојања између њеног пупка и земље био би златни број.
златни пресек у уметности
Постоје истраживања о делима „Витрувијев човек” и „Мона Лиза” Италијана Леонарда да Винчија, која сугеришу употреба златних правоугаоника.
Златни пресек у природи
Постоје студије које указују на а однос између златног пресека и начина на који су листови појединих биљака распоређени на стабљици. Овакав распоред листова назива се филотаксија.
Златни однос у дизајну
Златни пресек се такође проучава и користи у области дизајна као а алат за састав пројекта.
Решене вежбе о златном пресеку
Питање 1
(Енем) Сегмент се дели на два дела у златном пресеку када је целина према једном од делова у истом односу у којем је овај део према другом. Ова константа пропорционалности се обично представља грчким словом ϕ, а њена вредност је дата позитивним решењем једначине ϕ2 = ϕ+1.
Баш као и моћ \(ϕ^2\), веће снаге ϕ се могу изразити у облику \(аϕ+б\), где су а и б позитивни цели бројеви, као што је приказано у табели.
потенцију \(ϕ^7\), записано у облику аϕ+б (а и б су позитивни цели бројеви), је
а) 5ϕ+3
б) 7ϕ+2
ц) 9ϕ+6
г) 11ϕ+7
д) 13ϕ+8
Резолуција
Као \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Морамо да
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Применом дистрибутивног,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Као \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
Е алтернатива.
питање 2
Оцените сваку тврдњу у наставку о златном броју као Т (Тачно) или Ф (Нетачно).
и. Златни број ϕ је ирационалан.
ИИ. Количники између сваког члана и његовог претходника у Фибоначијевом низу приближавају се вредности ϕ.
ИИИ. 1.618 је заокруживање на три децимале златног броја ϕ.
Тачан редослед, од врха до дна, је
а) В-В-В
б) Ф-В-Ф
ц) В-Ф-В
д) Ф-Ф-Ф
е) Ф-В-В
Резолуција
и. Истина.
ИИ. Истина.
ИИИ. Истина.
Алтернатива А.
Извори
ФРАНЦИСКО, С.В. од Л. Између фасцинације и стварности златног пресека. Дисертација (професионални магистериј из математике у националној мрежи) – Институт за бионауке, писма и егзактне науке, Универсидаде Естадуал Паулиста Јулио де Мескуита Филхо. Сао Пауло, 2017. Доступна у: http://hdl.handle.net/11449/148903.
ПРОДАЈА, Ј. од С. Златни пресек присутан у природи. Завршетак курса (диплома из математике), Федерални институт за образовање, науку и технологију Пиауи. Пиауи, 2022. Доступна у http://bia.ifpi.edu.br: 8080/јспуи/хандле/123456789/1551.
Аутор: Мариа Луиза Алвес Риззо
Наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
