О апотема полигона је сегмент са крајњим тачкама у центру многоугла и на средини једне од страница. Овај сегмент формира угао од 90° са одговарајућом страном полигона.
За израчунавање мере апотеме потребно је узети у обзир карактеристике полигона у питању. У зависности од геометријског облика, могуће је конструисати формулу за добијање ове мере. Важно запажање је да је мера апотеме правилног многоугла једнака мери полупречника обима уписаног у многоугао.
Прочитајте и: Шта је симетрала?
Теме овог чланка
- 1 - Резиме о апотеми
- 2 - Примери апотема
-
3 – Које су формуле апотеме?
- Формула апотеме једнакостраничног троугла
- Апотема квадратне формуле
- Правилна формула апотема шестоугла
- Формула апотема пирамиде
- 4 - Како се рачуна апотема?
- 5 – Решене вежбе на апотеми
Резиме о апотеми
Апотема је сегмент многоугла који повезује центар (тачка сусрета симетрала управних висина) са средиштем једне од страница.
Угао између апотеме и одговарајуће странице многоугла мери 90°.
Мера апотеме правилног многоугла једнака је мери полупречника круга уписаног у многоугао.
Апотема ОМ једнакостраничног троугла са страницом л је дата формулом
\(ОМ = \фрац{л\скрт3}6\)
Апотема ОМ квадрата странице л је дата формулом
\(ОМ = \фрац{л}2\)
Апотема ОМ правилног шестоугла на једној страни л је дата формулом
\(ОМ = \фрац{л\скрт3}2\)
Апотема пирамиде је сегмент који спаја врх са средином једне од ивица основе, а њена мера се може добити Питагорином теоремом.
Не заустављај се сада... Има више после публицитета ;)
Примери апотема
Да бисмо пронашли апотему полигона, морамо конструисати сегмент линије који спаја центар многоугла са средином једне од страница. Запамтите да је центар многоугла место где се симетрале састају.
У овим примерима, апотема је разматрана у равним полигонима. Међутим, постоји свемирски објекат који има другачију врсту апотеме: пирамида.
У пирамиди постоје две врсте апотема: апотема основе, која је апотема многоугла који чини основу пирамиде, и апотема пирамиде, која је сегмент који повезује врх са средином основне ивице (то јест, то је висина бочне стране основе). пирамида).
У примеру квадратне основе испод, сегмент ОМ је апотем основе, а сегмент ВМ је апотем пирамиде, при чему је М средина БЦ.
Које су формуле за апотему?
Познавајући карактеристике полигона, посебно правилних многоуглова, можемо развити формуле за израчунавање мере апотеме. Хајде да видимо шта су ове формуле за главне правилне полигоне.
Формула апотеме једнакостраничног троугла
Ат тхе случај једнакостраничног троугла, висина и медијана у односу на дату страну су исте. То значи да се центар полигона поклапа са барицентер троугла. Дакле, тачка О дели висину АМ на следећи начин:
\(АО = \фрац{2}3 ујутро\) То је \(ОМ=\фрац{1}3 ујутро\)
Запамтите да је мера од висина једнакостраничног троугла л даје:
\(Висина\ троугао\ једнакостраничан=\фрац{л\скрт3}2\)
Дакле, како је АМ висина једнакостраничног троугла АБЦ, а сегмент ОМ апотема троугла, можемо разрадити следећи израз за меру ОМ, с обзиром да страница троугла мери л:
\(ОМ =\фрац{1}3 АМ = \фрац{1}3 ⋅\фрац{л\скрт3}2\)
\(ОМ = \фрац{л\скрт3}6\)
Апотема квадратне формуле
У случају квадрата, мера апотеме одговара половини дужине странице. Дакле, ако је О центар квадрата, М је средина једне од страница, и л је дужина странице квадрата, па је формула за апотему ОМ
\(ОМ=\фрац{л}2\)
Правилна формула апотема шестоугла
У правилном шестоуглу, апотема одговара висини једнакостраничног троугла са врховима на два краја једне од страница и у центру многоугла. У примеру испод, апотема ОМ правилног шестоугла је висина једнакостраничног троугла ОЦД, где је М средиште ЦД-а.
Као што смо раније поменули, висина једнакостраничног троугла је позната. Дакле, ако страница правилног шестоугла мери л, онда је формула за апотему ОМ
\(ОМ =\фрац{л\скрт3}2\)
Формула апотема пирамиде
Мера апотеме пирамиде може се добити помоћу Питагорина теорема помоћ. У примеру испод, у квадратној пирамиди, троугао ВОМ је правоугаоник, са крацима ВО и ОМ и хипотенузом ВМ. Имајте на уму да је ВО висина пирамиде, ОМ је апотем основе и ВМ је апотем пирамиде.
Дакле, да бисмо одредили меру апотеме пирамиде, морамо применити Питагорину теорему:
\((ВМ)^2=(ВО)^2+(ОМ)^2\)
Пажљиво! ВМ је висина једнакокраког троугла, а не једнакостраничног троугла. Дакле, у овом случају не можемо користити формулу за висину једнакостраничног троугла.
Како се рачуна апотема?
Да бисмо израчунали апотему полигона или пирамиде, можемо користити конструисане формуле или повезати апотему са полупречником уписаног круга.
Пример 1: Претпоставимо да је у једнакостранични троугао уписан круг полупречника 3 цм. Која је мера апотема овог троугла?
Како апотема многоугла има исту меру као полупречник уписане кружнице, апотема троугла мери 3 цм.
Пример 2: Која је мера апотема правилног шестоугла са страницом 4 цм?
Користећи формулу за апотему правилног шестоугла са \(л=4\) цм, морамо
\(Мерење\ апотхем=\фрац{4\скрт3}2=2\скрт3\ цм\)
Прочитајте и: Све о значајним тачкама троугла
Решене вежбе на апотеми
Питање 1
Ако пирамида висине 4 цм има апотему основе од 3 цм, онда је мерење апотеме пирамиде
а) 5 цм
б) 6 цм
в) 7 цм
г) 8 цм
д) 9 цм
Резолуција:
У пирамиди можемо конструисати правоугли троугао у коме је један крак апотем основе, други катет висина пирамиде, а хипотенуза апотем пирамиде. Дакле, примењујући Питагорину теорему на хипотенузу мере к,
\(к^2=3^2+4^2\)
\(к = 5\ цм\)
Алтернатива А.
питање 2
Ако је апотема квадрата и цм, онда је страница квадрата
Тхе) \(\фрац{1}3г \) центиметар
Б) \(\фрац{1}2и \) центиметар
в) и цм
г) 2и цм
д) 3и цм
Резолуција
Апотема квадрата је половина дужине странице квадрата. Дакле, ако апотема мери и цм, квадрат мери 2и цм.
Алтернатива Д.
Аутор: Мариа Луиза Алвес Риззо
Наставник математике
Да ли бисте желели да референцирате овај текст у школском или академском раду? погледај:
Рицо, Марија Луиза Алвес. "Апотхем"; Бразил школа. Доступна у: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Приступљено 16. маја 2023.
Разумети шта је барицентар троугла и како га израчунати у Декартовој равни, поред провере његових особина.
Кликните и научите како да направите описане полигоне и сазнајте више о овом односу са обимом.
Разумети шта је шестоугао и знати његове класификације, карактеристике и својства. Такође научите формуле за израчунавање његове површине и периметра.
Кликните овде, сазнајте шта је симетрала окомице и сазнајте како да је изградите. Такође научите разлике између симетрале, медијане, симетрале и висине троугла.
Разумети шта је пирамида и видети њене главне елементе. Погледајте различите врсте пирамида и како израчунати њихову запремину и површину.
Научите шта је правилан полигон и разликовати правилне полигоне од неправилних. Такође израчунајте површину и периметар правилног многоугла.
Научите како да израчунате средину сегмента линије користећи аналитичку геометрију!
Погледајте овде истакнуте тачке троугла и научите његова главна својства. Погледајте и како ове тачке могу олакшати решавање неких проблема.
Кликните да бисте сазнали шта су квадрати, њихове карактеристике заједничке другим геометријским фигурама и њихова специфична својства.
Питагорина теорема је један од најважнијих алата у проучавању троуглова. Кликните овде, сазнајте више о његовој формули и сазнајте како да је примените!
