Транспонована матрица: шта је то, својства, примери

ТХЕ транспонована матрица матрице М је матрица М.^т. ради се о седиште које ћемо добити када преписујемо матрицу М мењајући положај редова и колона, трансформишући први ред М у прву колону М.^т, други ред М у другој колони М.^т, и тако даље.

Ако матрица М има м линије и не колоне, његова транспонована матрица, тј. М.^т, ће имати не линије и м колоне. Постоје специфична својства за транспоновану матрицу.

Прочитајте такође: Шта је троугласта матрица?

Како се добија транспонована матрица?

Дат је матрица А._мкн, знамо како је матрица транспонована из А у матрицу А^т_{н к м}. Да бисте пронашли транспоновану матрицу, само промените положај редова и колона матрице А. Шта год да је први ред матрице А, биће прва колона транспоноване матрице А^т, други ред матрице А биће друга колона матрице А^т, и тако даље.

Алгебарски, нека је М = (м_иј)_мкн, транспонована матрица М је М^т = (м_ји) _{н к м}.

Пример:

Пронађите матрицу транспоновану из матрице:

Матрица М је матрица 3к5, па ће њено транспоновање бити 5к3. Да бисмо пронашли транспоновану матрицу, направићемо први ред матрице М прву колону матрице М^т.

instagram story viewer

Други ред матрице М биће друга колона транспоноване матрице:

Коначно, трећи ред матрице М постаће трећа колона матрице М.^т:

симетрична матрица

На основу концепта транспоноване матрице могуће је дефинисати шта је симетрична матрица. Матрица је позната као симетрична када је једнак вашој транспонованој матрици, то јест, с обзиром на матрицу М, М = М^т.

Да би се то догодило, матрица треба да буде квадратна, што значи да да би матрица била симетрична, број редова мора бити једнак броју колона.

Пример:

Када анализирамо појмови изнад главне дијагонале и појмови испод главне дијагонале матрице С, могуће је уочити да постоје појмови који они су исти, што га чини симетричним управо због симетрије матрице у односу на главну дијагоналу.

Ако нађемо транспоновање матрице С, могуће је видети да је С^т једнак је С.

Како је С = С.^т, ова матрица је симетрична.

Погледајте такође: Како решити линеарне системе?

Својства транспоноване матрице

1. својство: транспозиција транспоноване матрице једнака је самој матрици:

(М.^т)^т = М.

2. својство: транспоновање збира између матрица једнако је збиру транспоновања сваке од матрица:

(М + Н)^т = М.^т+ Н.^т

3. својство: транспозиција множење између две матрице је једнако множењу транспоновања сваке од матрица:

(М · Н)^т = М.^т · Н.^т

4. својство: О. одредница матрице је једнако одредници транспоноване матрице:

дет (М) = дет (М.^т)

5. својство: транспоновање матрице помножено са константом једнако је транспоновању матрице помножено са константом:

(кА)^т = кА^т

Инверзна матрица

Концепт инверзне матрице се прилично разликује од концепта транспоноване матрице и важно је нагласити разлику између њих. Инверзна матрица матрице М је матрица М^-1, при чему је производ између М и М матрица^-1 једнак је матрици идентитета.

Пример:

Да бисте сазнали више о овој врсти матрице, прочитајте наш текст: Инверзна матрица.

супротна матрица

Будући да је још један случај посебне матрице, матрица супротна матрици М је матрица -М. Знамо као супротну матрицу М = (м_иј) матрица -М = (-м_иј). Супротна матрица је састављена од супротних чланова матрице М.