Стандардна девијација: шта је то, како је израчунати, примери

О стандардна девијација је мера дисперзије, као и варијанса и коефицијент варијације. Приликом одређивања стандардне девијације, можемо успоставити опсег око аритметичке средине (подела између збира бројева у листи и броја додатих бројева) где је концентрисана већина података. Што је већа вредност стандардне девијације, већа је варијабилност података, односно веће је одступање од аритметичке средине.

Прочитајте такође: Мод, средња вредност и медијана — главне мере централних тенденција

Резиме стандардне девијације

• Стандардна девијација је мера варијабилности.
• Ознака стандардне девијације је мало грчко слово сигма (σ) или слово с.
• Стандардна девијација се користи за верификацију варијабилности података око средње вредности.
• Стандардна девијација одређује опсег \(\лево[\му-\сигма,\му+\сигма\десно]\), где се налази већина података.
• Да бисмо израчунали стандардну девијацију, морамо пронаћи квадратни корен варијансе:

\(\сигма=\скрт{\фрац{\сум_{и=1}^{Н}\лево (к_и-\му\десно)^2}{Н}}\)

Шта је стандардна девијација?

Стандардна девијација је а мера дисперзије усвојена у Статистици. Његова употреба је повезана са интерпретација варијансе, што је такође мера дисперзије.

У пракси, стандардна девијација одређује интервал, усредсређен на аритметичку средину, у коме је концентрисана већина података. Дакле, што је већа вредност стандардне девијације, то је већа неправилност података (више информација хетерогена), а што је мања вредност стандардне девијације, то је мања неправилност података (више информација хомоген).

Како израчунати стандардну девијацију?

Да бисте израчунали стандардну девијацију скупа података, морамо пронаћи квадратни корен варијансе. Дакле, формула за израчунавање стандардне девијације је

\(\сигма=\скрт{\фрац{\сум_{и=1}^{Н}\лево (к_и-\му\десно)^2}{Н}}\)

• \(к_1,к_2,к_3,\лдотс, к_Н\) → укључени подаци.
• μ → аритметичка средина податка.
• Н → количина података.
• \( \сум_{и=1}^{Н}\лево (к_и-\му\десно)^2\ =\ \лево (к_1-\му\десно)^2+\лево (к_2-\му\десно) )^2+\лево (к_3-\му\десно)^2+...+\лево (к_Н-\му\десно)^2 \)

Последња ставка, која се односи на бројилац радикала, означава збир квадрата разлике између сваке тачке података и аритметичке средине. имајте на уму да јединица мере за стандардну девијацију је иста јединица мере као и податак Икс₁,Икс₂,Икс₃,…,Икс_Не.

Иако је писање ове формуле мало сложено, њена примена је једноставнија и директнија. Испод је пример како да користите овај израз за израчунавање стандардне девијације.

• Пример:

Током две недеље у граду су забележене следеће температуре:

Недеља/дан	недеља	Друго	Треће	Четврто	Пето	петак	Субота
Недеља 1	Ночьу 30°Ц	Ночьу 30°Ц	Ночьу 31°Ц	31,5°Ц	Ночьу 30°Ц	28.5°Ц	Ночьу 30°Ц
недеља 2	28.5°Ц	Ночьу 23°Ц	Ночьу 30°Ц	Ночьу 30°Ц	Ночьу 30°Ц	Ночьу 30°Ц	Ночьу 30°Ц

У којој од две недеље температура је била редовнија у овом граду?

Резолуција:

Да бисмо анализирали правилност температуре, морамо упоредити стандардне девијације температура забележених у седмици 1 и 2.

• Хајде да прво погледамо стандардну девијацију за недељу 1:

Имајте на уму да просек μ₁ То је Не₁ су

\(\му_1=\фрац{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\приближно 29,57\)

\(Н_1=7 \) (7 дана у недељи)

Такође, треба да израчунамо квадрат разлике између сваке температуре и просечне температуре.

\(\лево (29-29,57\десно)^2=0,3249\)

\(\лево (30-29,57\десно)^2=0,1849\)

\(\лево (31-29,57\десно)^2=2,0449\)

\(\лево (31,5-29,57\десно)^2=3,7249\)

\(\лево (28-29,57\десно)^2=2,4649\)

\(\лево (28,5-29,57\десно)^2=1,1449\)

\(\лево (29-29,57\десно)^2=0,3249\)

Сабирањем резултата имамо да је бројилац радикала у формули стандардне девијације

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

Дакле, стандардна девијација прве недеље је

\(\сигма_1=\скрт{\фрац{\сум_{и=1}^{7}\лево (к_и-\му_1\десно)^2}{Н_1}}=\скрт{\фрац{10,2143} {7}}\ \приближно 1,208\ °Ц\)

Напомена: Овај резултат значи да је већина температура прве недеље у интервалу [28,36 °Ц, 30,77 °Ц], тј. \(\лево[\му_1-\сигма_1,\му_1+\сигма_1\десно]\).

• Сада погледајмо стандардну девијацију 2. недеље:

Следећи исто резоновање, имамо

\(\му_2=\фрац{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)

\(Н_2=7\)

\(\лево (28,5-28,5\десно)^2=0\)

\(\лево (27-28,5\десно)^2=2,25\)

\(\лево (28-28,5\десно)^2=0,25\)

\(\лево (29-28,5\десно)^2=0,25\)

\(\лево (30-28,5\десно)^2=2,25\)

\(\лево (28-28,5\десно)^2=0,25\)

\(\лево (29-28,5\десно)^2=0,25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

Дакле, стандардна девијација 2 недеље је

\(\сигма_2=\скрт{\фрац{\сум_{и=1}^{7}\лево (к_и-\му_1\десно)^2}{Н_2}}=\скрт{\фрац{5,5} {7}}\ \приближно 0,89\ °Ц\)

Овај резултат значи да је већина температура у другој недељи у опсегу \(\лево[\му_2-\сигма_2,\му_2+\сигма_2\десно]\), односно домет \(\лево[\му_2-\сигма_2,\му_2+\сигма_2\десно]\).

схватити да \(\сигма_2, то јест, стандардна девијација 2 недеље је мања од стандардне девијације прве недеље. Због тога је 2. недеља представљала редовније температуре него прва недеља.

Које су врсте стандардне девијације?

Типови стандардне девијације су повезани са типом организације података. У претходном примеру смо радили са стандардном девијацијом негруписаних података. Да бисте израчунали стандардну девијацију скупа иначе организованих података (груписаних података, на пример), требало би да прилагодите формулу.

Које су разлике између стандардне девијације и варијансе?

стандардна девијација је квадратни корен варијансе:

\(\сигма=\скрт{\фрац{\сум_{и=1}^{Н}\лево (к_и-\му\десно)^2}{Н}}\)

\(В=\фрац{\сум_{и=1}^{Н}\лево (к_и-\му\десно)^2}{Н}\)

Када се користи варијанса за одређивање варијабилности скупа података, резултат има јединицу података на квадрат, што отежава његову анализу. Дакле, стандардна девијација, која има исту јединицу као и подаци, је могуће средство за тумачење резултата варијансе.

Знате више:Апсолутна учесталост — колико пута се исти одговор појавио током прикупљања података

Решене вежбе о стандардној девијацији

Питање 1

(ФГВ) У одељењу од 10 ученика, оцене ученика у оцењивању су биле:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

Стандардна девијација ове листе је приближно

А) 0.8.

Б) 0,9.

Ц) 1.1.

Д) 1.3.

Е) 1.5.

Резолуција:

Алтернатива Ц.

Како се наводи у саопштењу, Н = 10. Просек ове листе је

\( \му=\фрац{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

У наставку,

\(\лево (6-8\десно)^2=4\)

\(\лево (7-8\десно)^2=1\)

\(\лево (8-8\десно)^2=0\)

\(\лево (9-8\десно)^2=1\)

\(\лево (10-8\десно)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

Дакле, стандардна девијација ове листе је

\(\сигма=\скрт{\фрац{\сум_{и=1}^{10}\лево (к_и-8\десно)^2}{10}}=\скрт{\фрац{12}{10} }\приближно 1,1\)

питање 2

Размотрите изјаве у наставку и оцените сваку са Т (Тачно) или Ф (Нетачно).

и. Квадратни корен варијансе је стандардна девијација.

ИИ. Стандардна девијација нема везе са аритметичком средином.

ИИИ. Варијанца и стандардна девијација су примери мера дисперзије.

Тачан редослед, од врха до дна је

А) В-В-Ф

Б) Ф-Ф-В

Ц) Ф-В-Ф

Д) Ф-Ф-Ф

Е) В-Ф-В

Резолуција:

Е алтернатива.

и. Квадратни корен варијансе је стандардна девијација. (истина)

ИИ. Стандардна девијација нема везе са аритметичком средином. (лажно)
Стандардна девијација означава интервал око аритметичке средине у који пада већина података.

ИИИ. Варијанца и стандардна девијација су примери мера дисперзије. (истина)

Аутор: Мариа Луиза Алвес Риззо
Наставник математике

Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm