Ан полиномска једначина карактерише то што има а полином једнака нули. Може се окарактерисати степеном полинома, а што је овај степен већи, то је већи степен тешкоће у проналажењу његовог решења или корена.
Такође је важно, у овом контексту, разумети шта је основна теорема алгебре која то каже свака полиномска једначина има бар једно комплексно решење, другим речима: једначина степена један ће имати најмање једно решење, једначина степена два ће имати најмање два решења, и тако даље.
Прочитај и ти: Које су класе полинома?
Шта је полиномска једначина
Полиномска једначина се карактерише тиме што има полином једнак нули, дакле, сваки израз типа П(к) = 0 је полиномска једначина, где је П(к) полином. Испод је општи случај полиномске једначине и неки примери.
Сматра да јене, ан -1, а н -2, …, Тхе1, а0 и к реални бројеви, а н је позитиван цео број, следећи израз је полиномска једначина степена н.
- Пример
Следеће једначине су полиноми.
а) 3к4 + 4к2 – 1 = 0
б) 5к2 – 3 = 0
в) 6х – 1 = 0
г) 7к3 - Икс2 + 4х + 3 = 0
Као и полиноми, и полиномске једначине имају свој степен. Да бисте одредили степен полиномске једначине, само пронађите највећу снагу чији се коефицијент разликује од нуле. Дакле, једначине претходних ставки су, респективно:
а) Једначина је из четврти степен:3Икс4+ 4к2 – 1 = 0.
б) Једначина је из средња школа:5Икс2 – 3 = 0.
в) Једначина је из први степен:6Икс – 1 = 0.
д) Једначина је од трећи степен: 7Икс3- Икс2 + 4х + 3 = 0.
Како решити полиномску једначину?
Начин решавања полиномске једначине зависи од њеног степена. Што је већи степен једначине, то је теже решити је. У овом чланку ћемо показати метод решавања полиномских једначина првог степена, другог степена и биквадрата.
Полиномска једначина првог степена
Полиномску једначину првог степена описује а полином 1. степена. Дакле, можемо написати једначину првог степена, уопштено, на следећи начин.
Размотримо два реална броја Тхе и Б са = 0, следећи израз је полиномска једначина првог степена:
ак + б = 0
Да бисмо решили ову једначину, морамо користити принцип еквиваленције, то јест, све што се ради на једној страни једнакости мора бити оперисано и на другој страни. Да бисмо одредили решење једначине првог степена, морамо изоловати непознато. За ово, први корак је елиминисање Б на левој страни једнакости, а затим одузимативесла б на обе стране једнакости.
секира + б - Б = 0 - Б
ак = - б
Имајте на уму да вредност непознатог к није изолована, коефицијент а треба елиминисати са леве стране једнакости, а за то поделимо обе стране са Тхе.
- Пример
Решити једначину 5х + 25 = 0.
Да бисмо решили проблем, морамо користити принцип еквиваленције. Да бисмо олакшали процес, изоставићемо писање операције на левој страни једнакости, јер Еквивалентно онда рећи да ћемо „пребацити“ број на другу страну, мењајући предзнак (инверзна операција).
Сазнајте више о решавању ове врсте једначине тако што ћете приступити нашем тексту: Једначина првог степена са непознатом.
Полиномска једначина другог степена
Полиномска једначина другог степена има карактеристику а полином другог степена. Дакле, размотрите а, б и ц реалне бројеве са а = 0. Једначина другог степена је дата са:
ак2 + бк + ц = 0
Ваше решење се може одредити методом од бхаскара или факторингом. Ако желите да сазнате више о једначинама овог типа, прочитајте: Екакција од сдруго грау.
→ Бхаскара метод
Користећи Бхаскарин метод, његови корени су дати следећом формулом:
- Пример
Наћи решење једначине х2 – 3х + 2 = 0.
Имајте на уму да су коефицијенти једначине а = 1, б = – 3 и ц = 2. Заменивши ове вредности у формули, морамо:
→ Факторизација
Видети да је могуће раставити израз к на факторе2 – 3к + 2 = 0 користећи идеју о факторизација полинома.
Икс2 – 3х + 2 = 0
(к – 2) · (к – 1) = 0
Обратите пажњу сада да имамо производ једнак нули, а производ једнак нули само ако је један од фактора једнак нули, тако да морамо:
к – 2 = 0
к = 2
или
к - 1 = 0
к = 1
Видите да смо пронашли решење једначине користећи две различите методе.
би-квадрат једначина
ТХЕ биквадратна једначина то је посебан случај полиномске једначине четвртог степена, нормално би једначина четвртог степена била написана у облику:
ак4 + бк3 + кутија2 + дк + е = 0
где су бројеви а б ц д и и су реални са = 0. Једначина четвртог степена се сматра биквадратом када су коефицијенти б = д = 0, односно, једначина је у облику:
ак4 + кутија2 + и = 0
Погледајте, у примеру испод, како да решите ову једначину.
- Пример
Решити к једначину4 – 10к2 + 9 = 0.
Да бисмо решили једначину, користићемо следећу непознату промену, и кад год је једначина биквадратна, извршићемо ту промену.
Икс2 =п
Из једначине биквадрата уочите да је к4 = (к2)2 и стога морамо:
Икс4 – 10к2 + 9 = 0
(Икс2)2 – 10Икс2 + 9 = 0
за2 – 10п + 9 = 0
Видите да сада имамо полиномску једначину другог степена и можемо користити Бхаскарин метод, овако:
Међутим, морамо запамтити да је на почетку вежбе направљена непозната промена, тако да морамо применити вредност пронађену у замени.
Икс2 =п
За п = 9 имамо следеће:
Икс2 = 9
к’ = 3
или
к'' = – 3
За п = 1
Икс2 = 1
к’ = 1
или
к'' = – 1
Дакле, скуп решења биквадратне једначине је:
С = {3, –3, 1, –1}
Прочитајте такође: Бриот-Руффинијев практични уређај – подела полинома
Основна теорема алгебре (ТФА)
Основна теорема алгебре (ТФА), коју је доказао Гаус 1799. године, каже да свака полиномска једначина као што следи има најмање један комплексни корен.
Корен полиномске једначине је њено решење, односно непозната вредност је оно што чини једнакост истинитом. На пример, једначина првог степена има већ одређен корен, као и једначина другог степена, која има најмање два корена, и биквадрат, који има најмање четири корена.
решене вежбе
Питање 1 – Одредити вредност к која чини једнакост истинитом.
2х – 8 = 3х + 7
Резолуција
Имајте на уму да је да бисте решили једначину, потребно је организовати, односно оставити све непознате на левој страни једнакости.
2х – 8 = 3х + 7
2х – 3х = 7 + 8
– к = 15
По принципу еквиваленције можемо обе стране једнакости помножити истим бројем, а пошто желимо да пронађемо вредност к, помножићемо обе стране са –1.
(–1)– к = 15(–1)
к = – 15
питање 2 – Маркос има 20 Р$ више од Жоаа. Заједно успевају да купе два пара патика, које коштају 80 Р$ сваки пар и без новца. Колико реала има Џон?
Резолуција
Претпоставимо да Марко има к реала, као што Јован има 20 реала више, тако да има к + 20.
Ознаке → х реалних
Јоао → (к + 20) реал
како су купили два пара патика који коштају по 80 реала, па ако саставимо делове сваког од њих, мораћемо:
к + (к + 20) = 2 · 80
к + к = 160 – 20
2х = 140
Дакле, Марко је имао 70 реала, а Жоао 90 реала.
од Робсон Луиз
наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm