Замислите да се играте са кликерима да бисте формирали троуглове. Прво можете узети у обзир да је лопта као мали троугао:
•
Затим ставите два мермера испод њих и формирате три врха а троугао:
•
• •
Ако ставите још три лопте испод њих, формираће још један троугао:
•
• •
• • •
У сваком кораку додавања лоптица у односу на претходно постављену количину, увек ће доћи до формирања троуглова. Погледајте троугао настао додавањем још четири лопте:
•
• •
• • •
• • • •
Укупан број лоптица у сваком кораку карактерише класу бројева која се назива троугласти бројеви. Математичар Карл Фридрих Гаус открио је формулу која означава укупан износ у сваком троуглу, где с1одговара првом троуглу, с2, до другог троугла и тако даље. Суме које је Гаус описао су почеле са а и, у свакој фази, додат је број који је одговарао једној јединици изнад последњег доданог броја:
с1 = 1
с2= 1 + 2 = 3
с3 = 1 + 2 + 3 = 6
с4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
с5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Резултати ових збира били су троугласти бројеви: 1, 3, 6, 10, 15... Имајте на уму да постоји образац успостављен у сваком од ових збира. Гледајући пажљиво, можемо видети да је сваки од њих а
аритметичка прогресија разлога 1. Дакле, овде је гаусова сума, чиме се утврђује да ћемо, у збиру константног односа, ако додамо први елемент последњем, добити исти резултат као додавањем другог елемента претпоследњем. Хајде да видимо како се дешава Гаусов збирни процес. с6 и с7:
Процес Гаусове суме примењен на збир троугластих бројева
Не заустављај се сада... Има више после реклама ;)
ако престане с6 и с7 имамо суме са горње слике, хајде да репродукујемо ову суму за с8, С9, С10 и с11:
с8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
с9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
с10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
с11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Можемо генерализовати да добијемо суму за сне:
сне = н. (н+1), ако је н паран
2
сне = (н - 1).(н+1) + (н - 1) + 1, ако је н непарно
2 2
баш као у магија бројева, можемо показати још једну занимљиву чињеницу о троугластим бројевима: збир наредних троугластих бројева увек резултира бројевима који се могу класификовати као савршени квадрати, односно бројеви који имају корен квадрат. Хајде да видимо:
с1 + С2 = 1 + 3 = 4
с2 + С3 = 3 + 6 = 9
с3 + С4 = 6 + 10 = 16
с4 + С5 = 10 + 15 = 25
с5 + С6 = 15 + 21 = 36
с6 + С7 = 21 + 28 = 49
с7 + С8 = 28 + 36 = 64
с8 + С9 = 36 + 45 = 81
с9 + С10 = 45 + 55 = 100
с10 + С11 = 55 + 66 = 121
Добијени резултати, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и 121, су сви савршени квадрати.
Аутор Аманда Гонцалвес
Дипломирао математику
Да ли бисте желели да референцирате овај текст у школском или академском раду? погледај:
РИБЕИРО, Аманда Гонсалвес. "Троугласти бројеви"; Бразил школа. Доступна у: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Приступљено 27. јула 2021.
